已知M=
3-2
2-2
,α=
-1
4
,試計(jì)算:M10α
選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
過點(diǎn)P(-3,0)且傾斜角為30°直線和曲線
x=t+
1
t
y=t-
1
t
 (t為參數(shù))
相交于A、B兩點(diǎn).求線段AB的長(zhǎng).
分析:(1)先根據(jù)特征多項(xiàng)式建立方程求出特征值,然后分別求出特征值所對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量,將向量
a
用兩特征向量線性表示,最后利用矩陣與向量乘的意義進(jìn)行求解;
(2)寫出直線的參數(shù)方程,代入曲線方程得到關(guān)于s 的一元二次方程,利用根與系數(shù)的關(guān)系,代入弦長(zhǎng)公式求得 AB的長(zhǎng).
解答:解:(1)矩陣M的特征多項(xiàng)式為:f(λ)=λ2-λ-2=0,λ1=-1,λ2=2.
λ1=-1對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為:
α1
=
1
2
,λ2=2對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為:
α2
=
2
1
.(4分)
設(shè)a=m
a1
+n
a2
,即
.
-1 
4 
.
=m
.
1 
2 
.
+n
.
2 
1 
.
,∴
m+2n=-1
2m+n=4
解得
m=3
n=-2
.(5分)
M10α=3(λ1)10
α1
+(-2)(λ2)10
α2
=3(-1)10
.
1 
2 
.
+(-2)10
.
2 
1 
.
=
.
-4093 
-2042 
.
3-212
6-211

(2)直線的參數(shù)方程為
x = -3 + 
3
2
s
y = 
1
2
s
(s 為參數(shù)),曲線
x=t+
1
t
y=t-
1
t
可以化為 x2-y2=4.
將直線的參數(shù)方程代入上式,得 s2-6
3
+ 10 = 0

設(shè)A、B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 s1,s2,∴s1+  s2= 6 
3
,s1•s2=10.
∴AB=|s1-s2|=
(s1s2)2-4s1s2
=2
17
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了特征值的應(yīng)用,一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用,利用 AB=|s1-s2|=
(s1s2)2-4s1s2
是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°
.M是PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明PB∥平面MAC
(Ⅱ)證明平面PAB⊥平面ABCD
(Ⅲ)求四棱錐p-ABCD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知M=
3-2
2-2
,a=[4-1],試計(jì)算:M10α.
(2)已知圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù)),若P是圓C與y軸正半軸的交點(diǎn),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過點(diǎn)P的圓C的切線的極坐標(biāo)方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知M=
3-2
2-2
,α=
-1
4
,試計(jì)算:M10α
選修4-4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)
過點(diǎn)P(-3,0)且傾斜角為30°直線和曲線
x=t+
1
t
y=t-
1
t
 (t為參數(shù))
相交于A、B兩點(diǎn).求線段AB的長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

(1)已知M=
3-2
2-2
,a=[4-1],試計(jì)算:M10α.
(2)已知圓C的參數(shù)方程為
x=
3
+2cosθ
y=2sinθ
(θ為參數(shù)),若P是圓C與y軸正半軸的交點(diǎn),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,求過點(diǎn)P的圓C的切線的極坐標(biāo)方程.

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