Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，AB=

2

，BC=1，E，F(xiàn)分別是AB，PC的中點，DE⊥PA．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：平面PAC⊥平面PDE．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）取PD中點G，連AG，F(xiàn)G，證明四邊形AEFG為平行四邊形，可得EF∥AG，即可證明EF∥平面PAD；
（Ⅱ）證明DE⊥平面PAC，再證明平面PAC⊥平面PDE．

解答： 證明：（Ⅰ）取PD中點G，連AG，F(xiàn)G，
因為F、G分別為PC、PD的中點，
所以FG∥CD，且FG=

1

2

CD．…（2分）
又因為E為AB中點，所以AE∥CD，且AE=

1

2

CD．…（3分）
所以AE∥FG，AE=FG．
故四邊形AEFG為平行四邊形．  …（5分）
所以EF∥AG，
又EF?平面PAD，AG?平面PAD，
故EF∥平面PAD．                                      …（7分）
（Ⅱ）設AC∩DE=G，由△AEG∽△CDG及E為AB中點得

AG

CG

=

AE

CD

=

1

2

，
又因為AB=

2

，BC=1，所以AC=

3

，AG=

1

3

AC=

3

3

．
所以

AG

AE

=

AB

AC

=

2

3

，
又∠BAC為公共角，所以△GAE∽△BAC．
所以∠AGE=∠ABC=90°，即DE⊥AC．                  …（10分）
又DE⊥PA，PA∩AC=A，
所以DE⊥平面PAC．                                 …（12分）
又DE?平面PDE，所以平面PAC⊥面PDE．     …（14分）

點評：本題以四棱錐為例，考查了空間的直線與平面平行的判定，以及平面與平面垂直的判定，屬于中檔題．