Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=|ax-x²|+2b（a，b∈R）．
（1）當(dāng)a=-2，b=-$\frac{15}{2}$時，解方程f（2^x）=0；
（2）當(dāng)b=0時，若不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a為常數(shù)，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上存在零點，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）解：（1）原方程即為：|2^x_（2^x+2）|=15，解得2^x即可，
（2）不等式f（x）≤2x在x∈[0，2]上恒成立，及（f（x）-2x）_max≤在x∈[0，2]上恒成立即可‘
（3）函數(shù)f（x）在[0，2]上存在零點，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解，分類求出設(shè)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;\\;\\;（x≥a）}\\{-{x}^{2}+ax\\;\\;（x＜a）}\end{array}\right.$的值域即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=-2，b=-$\frac{15}{2}$時，f（x）=|x²+2x|-15，所以方程即為：|2^x_（2^x+2）|=15
解得：2^x₌3或2^x=-5（舍），所以x=${log}_{2}^{3}$；…（3分）
（2）當(dāng)b=0時，若不等式：x|a-x|≤2x
在x∈[0，2]上恒成立；
當(dāng)x=0時，不等式恒成立，則a∈R；…（5分）
當(dāng)0＜x≤2時，則|a-x|≤2，
在[0，22]上恒成立，即-2≤x-a≤2在（0，2]上恒成立，
因為y=x-a在（0，2]上單調(diào)增，y_max=2-a，y_min=-a，則$\left\{\begin{array}{l}{2-a≤2}\\{-a≥-2}\end{array}\right.$，解得：0≤a≤2；
則實數(shù)a的取值范圍為[0.2]；…（8分）
（3）函數(shù)f（x）在[0，2]上存在零點，即方程x|a-x|=-2b在[0，2]上有解；
設(shè)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;\\;\\;（x≥a）}\\{-{x}^{2}+ax\\;\\;（x＜a）}\end{array}\right.$
當(dāng)a≤0時，則h（x）=x²-ax，x∈[0，2]，且h（x）在[0，2]上單調(diào)增，
所以h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
則當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{4}$0≤-2b≤4-2a時，原方程有解，則a-2≤b≤0；…（10分）
當(dāng)a＞0時，h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax\\;\\;\\;（x≥a）}\\{-{x}^{2}+ax\\;\\;（x＜a）}\end{array}\right.$，
h（x）在[0，$\frac{a}{2}$]上單調(diào)增，在[$\frac{a}{2}，a$]上單調(diào)減，在[a，+∞）上單調(diào)增；
①當(dāng)$\frac{a}{2}≥2$，即a≥4時，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（2）=4-2a，
則當(dāng)則當(dāng)0≤-2b≤2a-4時，原方程有解，則2-a≤b≤0；
②當(dāng)$\frac{a}{2}＜2≤a$，即2≤a＜4時，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=h（$\frac{a}{2}$）=$\frac{{a}^{2}}{4}$，
則當(dāng)0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$時，原方程有解，則-$\frac{{a}^{2}}{8}≤b≤0$；
③當(dāng)0＜a＜2時，h（x）_min=h（0）=0，h（x）_max=max{h（2），h（$\frac{a}{2}$）=max{4-2a，$\frac{{a}^{2}}{4}$}
當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{4}≥4-2a$，即當(dāng)-4+4$\sqrt{2}$≤a＜2時，h（x）_max=$\frac{{a}^{2}}{4}$
，則當(dāng)0≤-2b≤$\frac{{a}^{2}}{4}$時，原方程有解，則$-\frac{{a}^{2}}{8}≤b≤0$；
當(dāng)$\frac{{a}^{2}}{4}＜4-2a$，即則0$＜a＜-4+4\sqrt{2}$時，h（x）_max=4-2a，
則當(dāng)0≤-2b≤4-2a時，原方程有解，則a-2≤b≤0；…（14分）
綜上，當(dāng)0＜a＜-4+4$\sqrt{2}$時，實數(shù)b的取值范圍為[a-2，0]；
當(dāng)-4+4$\sqrt{2}$≤a＜4時，實數(shù)b的取值范圍為[$-\frac{{a}^{2}}{8}.0$]；
當(dāng)a≥4時，實數(shù)b的取值范圍為[2-a，0]；

點評 本題考查了分段函數(shù)的值域問題，及分類討論思想，屬于中檔題．