Question

已知數列{a_n}滿足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，記所有可能的乘積a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和為T_n．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）求T_n的表達式；
（3）求證：+…+＜．

Answer 1

解：（1）∵數列{a_n}滿足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，
∴，
當n=1時，a₁=2．
當n≥2時，，
，
兩式相減，得，
∴．
（2）∵a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和為T_n，
∴T_n=a₁a₁+（a₁a₂+a₂a₂）+（a₁a₃+a₂a₃+a₃a₃）+…+（a₁a_n+a₂a_n+a₃a_n+…+a_na_n）
=（2³-2²）+（2⁵-2³）+（2⁷-2⁴）+…+（2²ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹）
=-（2ⁿ⁺²-4）
=．
（3）∵
=
=，
∴＜=，
∵=
=
＞
=，
∴+…+＞（）+（）+…+（）
=
=＞，
∴+…+＜．
分析：（1）由數列{a_n}滿足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，知，由迭代法能求出．
（2）由a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和為T_n，知T_n=a₁a₁+（a₁a₂+a₂a₂）+（a₁a₃+a₂a₃+a₃a₃）+…+（a₁a_n+a₂a_n+a₃a_n+…+a_na_n）=（2³-2²）+（2⁵-2³）+…+（2²ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺¹），由此能求出T_n的表達式．
（3）由=，知＜=，由=＞=，知+…+＞（）+（）+…+（）=＞，由此能夠證明+…+＜．
點評：本題考查數列通項公式的求法和不等式的證明，考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．