Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

1

2

sin(x+

π

2

)．
（1）寫出f（x）的最小正周期以及單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)h(x)=cos(x+

5π

4

)，求函數(shù)y=log₂f（x）+log₂h（x）的最大值，以及使其取得最大值的x的集合．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦

專題：計(jì)算題,綜合題

分析：（1）把所給的三角函數(shù)式進(jìn)行整理，根據(jù)二倍角公式和兩角和的正弦公式，得到最簡形式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到不等關(guān)系，解出即可．
（2）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行整理，得到對數(shù)的最簡形式，把真數(shù)整成可以求出最大值的形式，根據(jù)底數(shù)是2，函數(shù)是一個遞增函數(shù)得到結(jié)果．

解答： 解：（1）f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+

1

2

sin(x+

π

2

)=

1

2

sinx+

1

2

cosx
=

2

2

sin(x+

π

4

)
∴T=2π，
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到
x+

π

4

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]
∴x∈[2kπ-

3π

4

，2kπ+

π

4

]
（2）∵f（x）=

2

2

sin(x+

π

4

)，h(x)=cos(x+

5π

4

)=-cos（x+

π

4

），
∴函數(shù)y=log₂f（x）+log₂h（x）=log₂[-

2

4

sin(2x+

π

2

)=log2(-

2

4

cos2x)
∵f（x）＞0，h（x）＞0
∴D={x|

π

4

-2kπ＜x＜

3π

4

-2kπ，k∈z}
∴ymax=log2

2

4

=-

3

2

，
使y取得最大值的x的集合為{x|x=

π

2

-2kπ，k∈z}

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的恒等變形，考查二倍角公式和兩個角的和的公式，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，本題解題的關(guān)鍵是整理出正確的三角函數(shù)形式，本題是一個中檔題目．