如圖，四邊形ABCD中，為正三角形，，，AC與BD交于O點．將沿邊AC折起，使D點至P點，已知PO與平面ABCD所成的角為，且P點在平面ABCD內(nèi)的射影落在內(nèi)．

（Ⅰ）求證：平面PBD；
（Ⅱ）若時，求二面角的余弦值。

（1）取BD中點Q，證得Q與O重合。則面PBD
（2）

解析試題分析：（1）取BD中點Q，則三點共線，即Q與O重合。
則面PBD
（2）因為AC面PBD，而面ABCD，所以面ABCD面PBD，則P點在面ABCD上的射影點在交線BD上（即在射線OD上），所以PO與平面ABCD所成的角。以O為坐標原點，OA為軸，OB為軸建空間直角坐標系。，因為AC面PBD，所以面PBD的法向量，設面PAB的法向量，又，由，得①，又，由，得
 ②， 在①②中令，可得，則
所以二面角的余弦值
考點：本題主要考查立體幾何中的垂直關系，角的計算，空間向量的應用。
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，將立體問題轉(zhuǎn)化成平面問題，是解決立體幾何問題的一個基本思路。通過就落實黨的坐標系，利用空間向量，免去了繁瑣的邏輯推理過程，對計算能力要求較高。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，BC⊥AB，AD∥BC，AB＝AD＝2，CD⊥PD，異面直線PA和CD所成角等于60°.

(1)求證：面PCD⊥面PBD；
(2)求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大��；
(3)在棱PA上是否存在一點E，使得二面角A-BE-D的余弦值為？若存在，指出點E在棱PA上的位置，若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，分別是的中點．

(1)求證：；
(2)在平面內(nèi)求一點，使平面，并證明你的結(jié)論；
(3)求與平面所成角的正弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝CA＝AA1＝2，側(cè)棱AA1⊥面ABC，D、E分別是棱A1B1、AA1的中點，點F在棱AB上，且．

（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC1；
（Ⅱ）求二面角E－BC1－D的余弦值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知：四棱錐P—ABCD的底面為直角梯形，且AB∥CD，∠DAB＝90o，DC＝2AD＝2AB，側(cè)面PAD與底面垂直，PA＝PD，點M為側(cè)棱PC上一點．

（1）若PA＝AD，求PB與平面PAD的所成角大��；
（2）問多大時，AM⊥平面PDB可能成立？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，四棱錐中，是正三角形，四邊形是矩形，且平面平面，，．

(Ⅰ) 若點是的中點，求證：平面；
（II）若點為線段的中點，求二面角的正切值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,左視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.（1）證明：⊥平面（2）求平面與平面所成角的余弦值；

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知棱長為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點．
（1）求證：E、F、D、B共面；
（2）求點A1到平面的BDEF的距離；
（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：單選題

已知點P(3,2)與點Q(1,4)關于直線l對稱，則直線l的方程為( 　)

A．x－y＝0 B．x－y＋1＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y＝0

查看答案和解析>>

同步練習冊答案