Question

11．近年來我國電子商務行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇．2016年雙十一期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達516億人民幣．與此同時，相關管理部門推出了針對電商的商品和服務的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為0.7，對服務的好評率為0.8，其中對商品和服務都做出好評的交易為120次．
（Ⅰ）先完成關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為商品好評與服務好評有關？
（Ⅱ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的3次購物中，設對商品和服務全好評的次數(shù)為隨機變量X：
①求對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列；
②求X的數(shù)學期望和方差．
附臨界值表：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.897	10.828

K²的觀測值：$k=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$（其中n=a+b+c+d）
關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	a=120	b=40	160
對商品不滿意	c=20	d=20	40
合計	140	60	n=200

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知列出關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表，代入公式求得k²的值，對應數(shù)表得答案；
（Ⅱ）①每次購物時，對商品和服務全好評的概率為0.6，且X的取值可以是0，1，2，3，X～B（3，0.6）．求出相應的概率，可得對商品和服務全好評的次數(shù)X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
②利用二項分布的數(shù)學期望和方差求X的數(shù)學期望和方差．

解答 解：（Ι）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯(lián)表如下：

	對服務好評	對服務不滿意	合計
對商品好評	120	40	160
對商品不滿意	20	20	40
合計	140	60	200

…（2分）$k=\frac{{200×{{（120×20-20×40）}^2}}}{140×60×40×160}≈9.524＞7.897$…（4分）
故能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認為商品好評與服務好評有關．…．…（5分）
（Ⅱ）①每次購物時，對商品和服務都好評的概率為0.6，…（6分）
X的取值可以是0，1，2，3．
其中P（X=0）=0.4³=$\frac{8}{125}$； P（X=1）=C₃¹•0.6•0.4²=$\frac{36}{125}$；…..（7分）
P（X=2）=C₃²•0.6²•0.4=$\frac{54}{125}$； P（X=3）=C₃³•0.6³=$\frac{27}{125}$．…..（9分）
X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{8}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{27}{125}$

…（10分）
②由于X～B（3，0.6），則E（X）=3×0.6=1.8，D（X）=3×0.4×0.6=0.72…（12分）．

點評 本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，對考生的對數(shù)據(jù)處理的能力有很高要求，是中檔題．