【題目】已知函數(shù)f1(x)=﹣ax2,f2(x)=x3+x2,f(x)=f1(x)+f2(x),設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若不等式f1(x)<f′(x)<f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,則a的取值范圍為_____.
【答案】
【解析】
在區(qū)間上恒成立,即恒成立,可化為,由一次函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍;可化為,由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最值,可得的范圍,綜合兩種情況可得結(jié)果.
f(x)=﹣ax2+x3+x2=x3+(1﹣a)x2,f′(x)=3x2+2(1﹣a)x,
f1(x)<f′(x)<f2(x)在區(qū)間(1,+∞)上恒成立,
即﹣ax2<3x2+2(1﹣a)x<x3+x2恒成立,
﹣ax2<3x2+2(1﹣a)x,可化為(a+3)x+2(1﹣a)>0,
,解得﹣3≤a≤5①;
3x2+2(1﹣a)x<x3+x2可化為2a>﹣x2+2x+2,
而﹣x2+2x+2=﹣(x﹣1)2+3<3,
∴2a≥3,即②,
由①②可得,
∴實數(shù)a的取值范圍是,故答案為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知從甲地到乙地的公路里程約為240(單位:km).某汽車每小時耗油量Q(單位:L)與速度x(單位:)()的關(guān)系近似符合以下兩種函數(shù)模型中的一種(假定速度大小恒定):①,②,經(jīng)多次檢驗得到以下一組數(shù)據(jù):
x | 0 | 40 | 60 | 120 |
Q | 0 | 20 |
(1)你認為哪一個是符合實際的函數(shù)模型,請說明理由;
(2)從甲地到乙地,這輛車應(yīng)以多少速度行駛才能使總耗油量最少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若實數(shù)滿足,則稱為的不動點.已知函數(shù)
,其中,、為常數(shù)。
(1)若,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若時,存在一個實數(shù),使得既是的不動點,又是的極值點,求實數(shù)的值;
(3)證明:不存在實數(shù)組,使得互異的兩個極值點均為不動點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年國慶黃金周旅游市場依舊火爆.一旅行社為某旅行團包機旅游,其中旅行社的包機費15000元,旅行團中每人的飛機票按以下方式與旅行社結(jié)算:若旅行團人數(shù)不超過35人,飛機票每張800元;若旅行團人數(shù)多于35人,則給予如下優(yōu)惠:每多1人,每張機票減少10元,但旅行團的人數(shù)最多不超過60人,記旅行團人數(shù)為,每個人的機票錢為y元.
(1)寫出與的關(guān)系式.
(2)求旅行社獲得的利潤的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學(xué)史》,銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷,每本單價(元)試銷l天,得到如表單價(元)與銷量(冊)數(shù)據(jù):
單價(元) | |||||
銷量(冊) |
(1)已知銷量與單價具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若該書每本的成本為元,要使得售賣時利潤最大,請利用所求的線性相關(guān)關(guān)系確定單價應(yīng)該定為多少元?(結(jié)果保留到整數(shù))
附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R.若存在與x無關(guān)的正常數(shù)M,使|f(x)|≤ M|x|對一切實數(shù)x均成立,則稱f(x)為有界泛函.則函數(shù):① f(x)=-3x,② f(x)=x2,③ f(x)=sin2x,④ f(x)=2x,⑤ f(x)=xcosx中,屬于有界泛函的有____________.(填上所有正確的番號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高校在2012年的自主招生考試成績中隨機抽取名中學(xué)生的筆試成績,按成績分組,得到的頻率分布表如表所示.
組號 | 分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
第1組 | 5 | ||
第2組 | ① | ||
第3組 | 30 | ② | |
第4組 | 20 | ||
第5組 | 10 |
(1)請先求出頻率分布表中位置的相應(yīng)數(shù)據(jù),再完成頻率分布直方圖;
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生,高校決定在筆試成績高的第組中用分層抽樣抽取名學(xué)生進入第二輪面試,求第3、4、5組每組各抽取多少名學(xué)生進入第二輪面試;
(3)在(2)的前提下,學(xué)校決定在名學(xué)生中隨機抽取名學(xué)生接受考官進行面試,求:第組至少有一名學(xué)生被考官面試的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某市準(zhǔn)備在道路的一側(cè)修建一條運動比賽道,賽道的前一部分為曲線段,該曲線段是函數(shù), 時的圖象,且圖象的最高點為.賽道的中間部分為長千米的直線跑道,且.賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧.
(1)求的值和的大。
(2)若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”,矩形的一邊在道路上,一個頂點在半徑上,另外一個頂點在圓弧上,且,求當(dāng)“矩形草坪”的面積取最大值時的值.
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