Question

【題目】如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面， ， 為的中點(diǎn)， ，四棱錐的體積為.

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)見(jiàn)解析；（2）直線(xiàn)與平面所成的正弦值為；（3）二面角的正弦值為.

【解析】試題分析：（1）連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，設(shè)法證明，即可證明平面；
（2）作，垂足為，則平面，設(shè)，在中， ，利用四棱錐 的體積，可求得，可證 平面，即平面.則以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 所在直線(xiàn)為軸， 軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系.求出平面的一個(gè)法向量為，又，從而可求直線(xiàn)A1C1與平面BDC1所成角的正弦值；
（3）由（2）可求得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則可求求二面角的正弦值

試題解析：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，

∵四邊形是平行四邊形，∴點(diǎn)為的中點(diǎn).

∵為的中點(diǎn)，∴為的中位線(xiàn)，

∴

∵平面， 平面，

∴平面

（2）解：依題意知， ，

∵平面， 平面，

∴平面平面，且平面平面.

作，垂足為，則平面，

設(shè)，在中， ，

∴四棱錐體積，即.

∵， ， ， 平面， 平面，

∴平面，即平面.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， ， 所在直線(xiàn)為軸， 軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

則， ， ， ， .

∴， .

設(shè)平面的法向量為，

由及，得

令，得， .故平面的一個(gè)法向量為，

又

.

∴直線(xiàn)與平面所成的正弦值為.

（Ⅲ）平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為

∴

∴二面角的正弦值為.