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（滿分15分）動圓過定點且與直線相切，圓心的軌跡為曲線，過作曲線兩條互相垂直的弦，設的中點分別為、.

（1）求曲線的方程；

（2）求證：直線必過定點.

 

【答案】

（1）（2）聯(lián)立方程組，求出再求出直線，從而得證.

【解析】

試題分析：（1）設，根據題意有，

化簡得.                                                        ……6分

（2）設，代入得

，

因為是線段的中點，所以，,

故.                                                     ……10分

因為，所以將點坐標中的換成，即得，

則 ，整理得,

故不論為何值，直線必過定點.                             ……15分

考點：本小題主要考查拋物線標準方程的求解、直線與拋物線的位置關系、韋達定理、中點坐標公式、直線方程的求解和直線過定點問題，考查了學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.

點評：第（1）問也可以利用拋物線的定義求解，第（2）問含參數的直線方程過定點問題要靈活應用，有時不讓求定點，但是對含參數的直線方程先求出定點，可以簡化解題過程.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分15分）已知過點（，0）（）的動直線交拋物線于、兩點，點與點關于軸對稱．（I）當時，求證：；

（II）對于給定的正數，是否存在直線：，使得被以為直徑的圓所截得的弦長為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分15分）如圖，設P是拋物線：上的動點。過點做圓的兩條切線，交直線：于兩點。

   （Ⅰ）求的圓心到拋物線 準線的距離。

（Ⅱ）是否存在點，使線段被拋物線在點處得切線平分，若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省高三下學期3月聯(lián)考理科數學 題型：解答題

(本小題滿分15分)．

已知、分別為橢圓：的

上、下焦點，其中也是拋物線：的焦點，

點是與在第二象限的交點，且。

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知點P（1，3）和圓：，過點P的動直線與圓相交于不同的兩點A，B，在線段AB取一點Q，滿足：，（且）。求證：點Q總在某定直線上。

 

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科目：高中數學 來源：2010年湖北省高二期中考試理科數學試卷 題型：解答題

（本小題滿分15分）已知點，一動圓過點且與圓內切．

（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點，點為曲線上任一點，求點到點距離的最大值；

（Ⅲ）在的條件下，設△的面積為（是坐標原點，是曲線上橫坐標為的點），以為邊長的正方形的面積為．若正數滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

 

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