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(滿分15分)動圓過定點且與直線相切,圓心的軌跡為曲線,過作曲線兩條互相垂直的弦,設的中點分別為.

(1)求曲線的方程;

(2)求證:直線必過定點.

 

【答案】

(1)(2)聯(lián)立方程組,求出再求出直線,從而得證.

【解析】

試題分析:(1)設,根據題意有

化簡得.                                                        ……6分

(2)設,代入

因為是線段的中點,所以,,

.                                                     ……10分

因為,所以將點坐標中的換成,即得,

 ,整理得,

故不論為何值,直線必過定點.                             ……15分

考點:本小題主要考查拋物線標準方程的求解、直線與拋物線的位置關系、韋達定理、中點坐標公式、直線方程的求解和直線過定點問題,考查了學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.

點評:第(1)問也可以利用拋物線的定義求解,第(2)問含參數的直線方程過定點問題要靈活應用,有時不讓求定點,但是對含參數的直線方程先求出定點,可以簡化解題過程.

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

(本題滿分15分)已知過點,0)()的動直線交拋物線、兩點,點與點關于軸對稱.(I)當時,求證:;

(II)對于給定的正數,是否存在直線,使得被以為直徑的圓所截得的弦長為定值?如果存在,求出的方程;如果不存在,試說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(本小題滿分15分)如圖,設P是拋物線上的動點。過點做圓的兩條切線,交直線兩點。

   (Ⅰ)求的圓心到拋物線 準線的距離。

(Ⅱ)是否存在點,使線段被拋物線在點處得切線平分,若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由。

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科目:高中數學 來源:2011-2012學年浙江省高三下學期3月聯(lián)考理科數學 題型:解答題

(本小題滿分15分).

已知分別為橢圓

上、下焦點,其中也是拋物線的焦點,

在第二象限的交點,且。

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)已知點P(1,3)和圓,過點P的動直線與圓相交于不同的兩點A,B,在線段AB取一點Q,滿足:)。求證:點Q總在某定直線上。

 

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科目:高中數學 來源:2010年湖北省高二期中考試理科數學試卷 題型:解答題

(本小題滿分15分)已知點,一動圓過點且與圓內切.

(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;

(Ⅱ)設點,點為曲線上任一點,求點到點距離的最大值;

(Ⅲ)在的條件下,設△的面積為是坐標原點,是曲線上橫坐標為的點),以為邊長的正方形的面積為.若正數滿足,問是否存在最小值,若存在,請求出此最小值,若不存在,請說明理由.

 

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