(滿分15分)動圓過定點
且與直線
相切,圓心
的軌跡為曲線
,過
作曲線
兩條互相垂直的弦
,設
的中點分別為
、
.
(1)求曲線的方程;
(2)求證:直線必過定點.
(1)(2)聯(lián)立方程組,求出
再求出直線
,從而得證.
【解析】
試題分析:(1)設,根據題意有
,
化簡得. ……6分
(2)設,代入
得
,
因為是線段
的中點,所以
,
,
故. ……10分
因為,所以將點
坐標中的
換成
,即得
,
則 ,整理得
,
故不論為何值,直線
必過定點
. ……15分
考點:本小題主要考查拋物線標準方程的求解、直線與拋物線的位置關系、韋達定理、中點坐標公式、直線方程的求解和直線過定點問題,考查了學生分析問題、解決問題的能力和運算求解能力.
點評:第(1)問也可以利用拋物線的定義求解,第(2)問含參數的直線方程過定點問題要靈活應用,有時不讓求定點,但是對含參數的直線方程先求出定點,可以簡化解題過程.
科目:高中數學 來源: 題型:
(本題滿分15分)已知過點(
,0)(
)的動直線
交拋物線
于
、
兩點,點
與點
關于
軸對稱.(I)當
時,求證:
;
(II)對于給定的正數
,是否存在直線
:
,使得
被以
為直徑的圓所截得的弦長為定值?如果存在,求出的
方程;如果不存在,試說明理由.
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科目:高中數學 來源: 題型:
(本小題滿分15分)如圖,設P是拋物線
:
上的動點。過點
做圓
的兩條切線,交直線
:
于
兩點。
(Ⅰ)求的圓心
到拋物線
準線的距離。
(Ⅱ)是否存在點,使線段
被拋物線
在點
處得切線平分,若存在,求出點
的坐標;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數學 來源:2011-2012學年浙江省高三下學期3月聯(lián)考理科數學 題型:解答題
(本小題滿分15分).
已知、
分別為橢圓
:
的
上、下焦點,其中也是拋物線
:
的焦點,
點是
與
在第二象限的交點,且
。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知點P(1,3)和圓:
,過點P的動直線
與圓
相交于不同的兩點A,B,在線段AB取一點Q,滿足:
,
(
且
)。求證:點Q總在某定直線上。
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科目:高中數學 來源:2010年湖北省高二期中考試理科數學試卷 題型:解答題
(本小題滿分15分)已知點,一動圓過點
且與圓
內切.
(Ⅰ)求動圓圓心的軌跡的方程;
(Ⅱ)設點,點
為曲線
上任一點,求點
到點
距離的最大值
;
(Ⅲ)在的條件下,設△
的面積為
(
是坐標原點,
是曲線
上橫坐標為
的點),以
為邊長的正方形的面積為
.若正數
滿足
,問
是否存在最小值,若存在,請求出此最小值,若不存在,請說明理由.
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