Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-(

1

2

)n-1+2（n∈N^*），數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿa_n．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{

n+1

n

a_n}的前n項和為T_n，證明：n∈N^*且n≥3時，T_n＞

5n

2n+1

；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn（λ為非零常數(shù)，n∈N^*），問是否存在整數(shù)λ，使得對任意n∈N^*，都有c_n+1＞c_n．

Answer 1

考點：等差數(shù)列的性質(zhì),數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．由此能證明{數(shù)列b_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．從而求出a_n=

n

2n

．
（2）由（1）知

n+1

n

an=（n+1）•（

1

2

）ⁿ，利用錯位相減法能求出T_n=3-

n+3

2n

．再用數(shù)學(xué)歸納法能證明n∈N^*且n≥3時，T_n＞

5n

2n+1

．
（3）由a_n（c_n-3ⁿ）=（-1）^n-1λn可求得c_n，對任意n∈N⁺，都有c_n+1＞c_n即c_n+1-c_n＞0恒成立，整理可得（-1）^n-1•λ＜（

3

2

）^n-1，分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，分離出參數(shù)λ后轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值即可解決．

解答： （1）證明：在S_n=-a_n-(

1

2

)n-1+2（n∈N^*）中，
令n=1，得S₁=-a₁-1+2=a₁，解得a₁=

1

2

，
當(dāng)n≥2時，S_n-1=-a_n-1-（

1

2

）^n-2+2，
∴a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，
∴2a_n=a_n-1+（

1

2

）^n-1，即2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．
∵b_n=2ⁿa_n，∴b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1=1，
又b₁=2a₁=1，∴{數(shù)列b_n}是首項和公差均為1的等差數(shù)列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴a_n=

n

2n

．
（2）證明：∵an=

n

2n

，∴

n+1

n

an=（n+1）•（

1

2

）ⁿ，
∴T_n=2×

1

2

+3×（

1

2

）²+…+（n+1）×（

1

2

）ⁿ，①

1

2

Tn=2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+（n+1）×（

1

2

）ⁿ⁺¹，②
①-②，得：

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-(n+1)•(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）•（

1

2

）ⁿ⁺¹
=

3

2

-

n+3

2n+1

，
∴T_n=3-

n+3

2n

．
∴T_n-

5n

2n+1

=3-

n+3

2n

-

5n

2n+1

=

(n+3)(2n-2n-1)

2n(2n+1)

，
∴確定T_n與

5n

2n+1

的大小關(guān)系等價于比較2ⁿ與2n+1的大�。�
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明n∈N^*且n≥3時，T_n＞

5n

2n+1

．
①當(dāng)n=3時，2³＞2×3+1，成立
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3）時，2^k＞2k+1成立，
則當(dāng)n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2（2k+1）
=4k+2=2（k+1）+1+（2k-1）＞2（k+1）+1，
∴當(dāng)n=k+1時，也成立．
于是，當(dāng)n≥3，n∈N^*時，2ⁿ＞2n+1成立
∴n∈N^*且n≥3時，T_n＞

5n

2n+1

．
（3）由an(cn-3n)=(-1)n-1λn，
得cn=3n+

(-1)n-1λ•n

an

=3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ，
∴c_n+1-c_n=[3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ•λ•2ⁿ⁺¹]-[3ⁿ+（-1）^n-1•λ•2ⁿ]
=2•3ⁿ-3λ（-1）^n-1•2ⁿ＞0，
∴(-1)n-1•λ＜(

3

2

)n-1，①
當(dāng)n=2k-1，k=1，2，3，…時，①式即為λ＜(

3

2

)2k-2，λ＞-(

3

2

)2k-1②
依題意，②式對k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，
當(dāng)n=2k，k=1，2，3，…時，①式即為λ＞-(

3

2

)2k-1③，
依題意，③式對k=1，2，3…都成立，
∴λ＞-

3

2

，∴-

3

2

＜λ＜1，又λ≠0，
∴存在整數(shù)λ=-1，使得對任意n∈N^*有c_n+1＞c_n．

點評：本題考查數(shù)列遞推式、等差數(shù)列的通項公式、數(shù)列求和等知識，考查恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，錯位相減法對數(shù)列求和是高考考查的重點內(nèi)容，要熟練掌握．