Question

如圖：有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底是圓的直徑，上底CD的端點在圓周上．梯形的周長令為y，腰長為x
（Ⅰ）求周長y關(guān)于腰長x的函數(shù)關(guān)系式，并求其定義域；
（Ⅱ）當(dāng)梯形周長最大時，求此時梯形的面積S．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（ I）畫出圖形，結(jié)合圖形，求出周長y關(guān)于腰長x的函數(shù)解析式，再求出函數(shù)的定義域即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)y的最大值，并求出此時對應(yīng)的梯形的面積S．

解答： 解：（ I）如圖所示，作DE⊥AB于E，連接BD，
因為AB為直徑，所以∠ADB=90°；
在Rt△ADB與Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED；
所以

AD

AB

=

AE

AD

，即AE=

AD2

AB

；
又AD=x，AB=4，所以AE=

x2

4

；
所以CD=AB-2AE=4-2×

x2

4

=4-

x2

2

，
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4-

x2

2

+x=-

1

2

x²+2x+8，
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，

x2

4

＞0，4-

x2

2

＞0，
解得0＜x＜2

2

；
故所求的函數(shù)為y=-

1

2

x²+2x+8（0＜x＜2

2

）；
（Ⅱ）因為y=-

1

2

x²+2x+8=-

1

2

（x-2）²+10，
又0＜x＜2

2

，所以，當(dāng)x=2時，y有最大值10，
此時，梯形的腰長AD=x=2，下底長AB=4，所以AE=

x2

4

=1；
所以上底長CD=AB-2AE=4-2×1=2，高DE=

3

；
∴梯形的面積為S=

1

2

（AB+CD）•DE=

1

2

×（4+2）×

3

=3

3

．

點評：本題考查了函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了求函數(shù)最值的問題，是綜合性題目．