Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）在（1）成立的條件下，正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.

Answer 1

【答案】(1)2；(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題意可得，則原問(wèn)題等價(jià)于，據(jù)此可得實(shí)數(shù)的最大值.

（2）證明：法一：由題意結(jié)合(1)的結(jié)論可知，結(jié)合均值不等式的結(jié)論有，據(jù)此由綜合法即可證得.

法二：利用分析法，原問(wèn)題等價(jià)于，進(jìn)一步，只需證明，分解因式后只需證，據(jù)此即可證得題中的結(jié)論.

（1）由已知可得，

所以，

所以只需，解得，

∴，所以實(shí)數(shù)的最大值.

（2）證明：法一：綜合法

∵，

∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，①

又∵，∴，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，②

由①②得，∴，所以.

法二：分析法

因?yàn)?/span>，，

所以要證，只需證，

即證，

∵，所以只要證，

即證，

即證，因?yàn)?/span>，所以只需證，

因?yàn)?/span>，所以成立，

所以.