如圖5,為坐標(biāo)原點,雙曲線和橢圓均過點,且以的兩個頂點和的兩個焦點為頂點的四邊形是面積為2的正方形.
(1)求的方程;
(2)是否存在直線,使得與交于兩點,與只有一個公共點,且?證明你的結(jié)論.
(1) (2)不存在
解析試題分析:(1)利用正方形面積為2,即可得到對角線的長為2,則可得的兩個頂點和的兩個焦點的坐標(biāo),求的的值,再結(jié)合點在雙曲線上,代入雙曲線結(jié)合之間的關(guān)系即可求的的值,得到雙曲線的方程,橢圓的焦點坐標(biāo)已知,點在橢圓上,利用橢圓的定義即為到兩焦點的距離之和,求出距離即可得到的值,利用之間的關(guān)系即可求出的值,得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)分以下兩種情況討論,當(dāng)直線的斜率不存在時,直線與只有一個公共點,即直線經(jīng)過的頂點,得到直線的方程,代入雙曲線求的點的坐標(biāo)驗證是否符合等式,當(dāng)直線的斜率存在時,直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線消元得到二次方程,再利用根與系數(shù)之間的關(guān)系得到關(guān)于兩點橫縱坐標(biāo)之和的表達式,利用出,再立直線與橢圓的方程即可得到直線的關(guān)系,可得到內(nèi)積不可能等于0,進而得到,即,即不存在這樣的直線.
的焦距為,由題可得,從而,因為點在雙曲線上,所以,由橢圓的定義可得
,于是根據(jù)橢圓之間的關(guān)系可得,所以的方程為.
(2)不存在符合題設(shè)條件的直線.
①若直線垂直于軸,即直線的斜率不存在,因為與只有一個公共點,所以直線的方程為或,
當(dāng)時,易知所以,此時.
當(dāng)時,同理可得.
②當(dāng)直線不垂直于軸時,即直線的斜率存在且設(shè)直線的方程為,聯(lián)立直線與雙曲線方程
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線C上任意一點P到兩定點F1(-1,0)與F2(1,0)的距離之和為4.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)曲線C與x軸負(fù)半軸交點為A,過點M(-4,0)作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點(B在M、C之間),N為BC中點.
(ⅰ)證明:k·kON為定值;
(ⅱ)是否存在實數(shù)k,使得F1N⊥AC?如果存在,求直線l的方程,如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓E:+=1(a>b>0)的上焦點是F1,過點P(3,4)和F1作直線PF1交橢圓于A,B兩點,已知A(,).
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)點C是橢圓E上到直線PF1距離最遠(yuǎn)的點,求C點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知F1,F(xiàn)2是橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點,點P(-,1)在橢圓上,線段PF2與y軸的交點M滿足+=0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)橢圓C上任一動點N(x0,y0)關(guān)于直線y=2x的對稱點為N1(x1,y1),求3x1-4y1的取值范圍.
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已知橢圓的一個焦點為,離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若動點為橢圓外一點,且點到橢圓的兩條切線相互垂直,求點的軌跡方程.
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(本小題滿分13分)
已知雙曲線的兩條漸近線分別為.
(1)求雙曲線的離心率;
(2)如圖,為坐標(biāo)原點,動直線分別交直線于兩點(分別在第一,四象限),且的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線有且只有一個公共點的雙曲線?若存在,求出雙曲線的方程;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
圓的切線與x軸正半軸,y軸正半軸圍成一個三角形,當(dāng)該三角形面積最小時,切點為P(如圖),雙曲線過點P且離心率為.
(1)求的方程;
(2)橢圓過點P且與有相同的焦點,直線過的右焦點且與交于A,B兩點,若以線段AB為直徑的圓心過點P,求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知拋物線C:的焦點為F,直線與y軸的交點為P,與C的交點為Q,且.
(1)求C的方程;
(2)過F的直線與C相交于A,B兩點,若AB的垂直平分線與C相較于M,N兩點,且A,M,B,N四點在同一圓上,求的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系中,原點為,拋物線的方程為,線段是拋物線的一條動弦.
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程和焦點坐標(biāo);
(2)若,求證:直線恒過定點;
(3)當(dāng)時,設(shè)圓,若存在且僅存在兩條動弦,滿足直線與圓相切,求半徑的取值范圍?
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