Question

（本小題16分）

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)在直線上，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，為拋物線上一動點(diǎn)（不同于），直線分別交該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)。

（1）求拋物線方程；

（2）求證：以為直徑的圓經(jīng)過焦點(diǎn)，且當(dāng)為拋物線的頂點(diǎn)時，圓與直線相切。

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）證明見解析

【解析】（1）依題意，焦點(diǎn)，拋物線方程為。……………4分

（2）由得，，，

 ∴。            ……………………6分

設(shè)，則，

直線：，令，

得，即， ……………………8分

同理，直線：，令，得，

即，……………………10分

∴，∴，

∴以為直徑的圓經(jīng)過焦點(diǎn)。  ……………………13分

當(dāng)為拋物線的頂點(diǎn)時，，可得中點(diǎn)，即圓心，

，，∴，即，

∴圓與直線相切。