設函數(shù)f(x)=
a
b
其中向量
a
=(2cosx,1),b=(cosx,
3
sin2x+m)

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0,π]上的單調遞增區(qū)間;
(2)當x∈[0,
π
6
]
時,f(x)的最大值為4,求m的值.
分析:(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積運算表示出函數(shù)f(x),再由二倍角公式和兩角和與差的公式進行化簡,根據(jù)T=
w
可求得最小正周期,再由正弦函數(shù)的單調性可求得單調遞增區(qū)間.
(2)由(1)可知在x∈[0,
π
6
]
時函數(shù)f(x)單調遞增,進而可得到當x=
π
6
時f(x)取最大值,然后將x=
π
6
代入即可求得m的值.
解答:解:(1)∵f(x)=2cos2x+
3
sin2x+m=2sin(2x+
π
6
)+m+1

∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=
2

在[0,π]上單調遞增區(qū)間為[0,
π
6
],[
3
,π]

(2)當x∈[0,
π
6
]
時,
∵f(x)遞增,
∴當x=
π
6
時,f(x)取最大值為m+3,即m+3=4.解得m=1,
∴m的值為1.
點評:本題主要考查向量的數(shù)量積運算和三角函數(shù)的二倍角公式、兩角和與差的公式的應用,考查對三角函數(shù)的基本性質--最小正周期和單調性的運用.向量和三角函數(shù)的綜合題是高考的重點,每年必考,一定要多加練習.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=A+Bsinx,若B<0時,f(x)的最大值是
3
2
,最小值是-
1
2
,則A=
 
,B=
 

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=a+bcosx+csinx的圖象過點(0,1)和點(
π
2
,1)
,當x∈[0,
π
2
]
時,|f(x)|<2,則實數(shù)a的取值范圍是( 。
A、-
2
<a≤1
B、1≤a<4+3
2
C、-
2
<a<4+3
2
D、-a<a<2

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設函數(shù)f(x)=
a
b
,其中向量
a
=(2cosx,1),
b
=(cosx,-1)(x∈R).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)在△ABC中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,若f(A)=-
1
2
,且a=
3
,b+c=3,(b>c),求b與c的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
a
=(sinωx+cosωx,sinωx)
b
=(sinωx-cosωx,2
3
cosωx),設函數(shù)f(x)=
a
b
(x∈R)的圖象關于直線x=
π
3
對稱,其中常數(shù)ω∈(0,2)
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)將函數(shù)f(x)的圖象向左平移
π
12
個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,用五點法作出函數(shù)g(x)在區(qū)間[-
π
2
,
π
2
]的圖象.

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