Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+1和函數(shù)g(x)=

bx-1

a2x+2b

，方程g（x）=x有兩個(gè)不等非零實(shí)根x₁、x₂（x₁＜x₂）．
（1）證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)；
（2）若方程f（x）=0的兩實(shí)根為x₃，x₄（x₃＜x₄），求使x₃＜x₁＜x₂＜x₄成立的a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）方程g（x）=x有兩個(gè)不等非零實(shí)根，說明方程a²x²+bx+1=0（*）有不等實(shí)根，由△=b²-4a²＞0，可得函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸的范圍，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的圖象證明函數(shù)f（x）在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)
（2）先計(jì)算f（x₁）、f（x₂），再利用二次函數(shù)的圖象，要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

，解不等式即可

解答：解：（1）由g(x)=

bx-1

a2x+2b

=x⇒方程a²x²+bx+1=0（*）有不等實(shí)根∴△=b²-4a²＞0及a≠0，⇒|

b

2a

|＞1，即-

b

2a

＜-1，或-

b

2a

＞1
又f（x）的對(duì)稱軸x=-

b

2a

∉(-1，1)
故f（x）在（-1，1）上是單調(diào)函數(shù)                               
（2）因x₁、x₂是方程（*）的根，∴a²x₁²+bx₁+1=0∴bx₁=-a²x₁²-1
同理bx₂=-a²x₂²-1∴f（x₁）=ax₁²+b₁x₁+1=ax₁²-a²x₁²+1=（a-a²）x₁²，同理f（x₂）=（a-a²）x₂²
要使x₃＜x₁＜x₂＜x₄，只需

a＞0 f(x1)＜0 f(x2)＜0

⇒

a＞0 a-a2＜0

⇒a＞1
或

a＜0 f(x1)＞0 f(x2)＞0

⇒

a＜0 a-a2＞0

⇒?
故a的取值范圍a＞1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題時(shí)要熟記二次函數(shù)圖象，能運(yùn)用分類討論的思想，數(shù)形結(jié)合解決問題