Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）求證：若，則.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,只需最小值大于等于零即可；

（2）證，即證，轉(zhuǎn)求左側(cè)的最大值，右側(cè)的最小值即可.

（1），令，得；故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

因?yàn)?/span>且存在零點(diǎn)，故，得。

（2）法一：當(dāng)，因?yàn)?/span>，要證，即證，

令，則。令，解得，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，。

令，則。令，解得，

故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，。

又因?yàn)?/span>，所以，即，所以，

即。

法二：令，則，

令，

則，所以在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減，

又，，所以，使得，

且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

所以，又，所以，

故，令，

則，所以在單調(diào)遞增，所以，

故，即，

所以若，則。

法三：要證，即證，其中

令，，

即證，令，則

，在上單調(diào)遞增，又，

故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故，得證。