Question

17．設(shè)m∈R，過定點(diǎn)A的動(dòng)直線x+my=0和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線mx-y-m+3=0交于點(diǎn)P（x，y），則|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的最大值為5．

Answer 1

分析 先計(jì)算出兩條動(dòng)直線經(jīng)過的定點(diǎn)，即A和B，注意到兩條動(dòng)直線相互垂直的特點(diǎn)，則有PA⊥PB；再利用基本不等式放縮即可得出|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|的最大值．

解答 解：由題意可知，動(dòng)直線x+my=0經(jīng)過定點(diǎn)A（0，0），
動(dòng)直線mx-y-m+3=0即m（x-1）-y+3=0，經(jīng)過點(diǎn)定點(diǎn)B（1，3），
注意到動(dòng)直線x+my=0和動(dòng)直線mx-y-m+3=0始終垂直，P又是兩條直線的交點(diǎn)，
則有PA⊥PB，∴|PA|²+|PB|²=|AB|²=10．
故|$\overrightarrow{PA}$|•|$\overrightarrow{PB}$|≤$\frac{|PA{|}^{2}+|PB{|}^{2}}{2}$=5（當(dāng)且僅當(dāng)|PA|=|PB|=$\sqrt{5}$時(shí)取“=”）
故答案為：5．

點(diǎn)評 本題是直線和不等式的綜合考查，特別是“兩條直線相互垂直”這一特征是本題解答的突破口，從而有|PA|²+|PB|²是個(gè)定值，再由基本不等式求解得出．直線位置關(guān)系和不等式相結(jié)合，不容易想到，是個(gè)靈活的好題．