【題目】已知數(shù)列滿足a1=m,an+1= (k∈N*,r∈R),其前n項和為.
(1)當(dāng)m與r滿足什么關(guān)系時,對任意的n∈N*,數(shù)列{an}都滿足an+2=an?
(2)對任意實數(shù)m,r,是否存在實數(shù)p與q,使得{a2n+1+p}與{a2n+q}是同一個等比數(shù)列.若存在,請求出p,q滿足的條件;若不存在,請說明理由;
(3)當(dāng)m=r=1時,若對任意的n∈N*,都有Sn≥λan,求實數(shù)λ的最大值.
【答案】(1)m+r=0;(2)見解析;(3)1.
【解析】試題分析:(1)由a3=a1,得m+r=0,再證m+r=0滿足題意即可;
(2)依題意,a2n+1=a2n+r=2a2n-1+r,則a2n+1+r=2(a2n-1+r),當(dāng)m+r≠0時,{a2n+1+r}是等比數(shù)列,由題意可得p=r,q=2r,若m+r=0,則不存在實數(shù)p,q,使得{a2n+1+p}與{a2n+q}是等比數(shù)列;
(3)當(dāng)m=r=1時,由(2)可得a2n-1=2n-1,a2n=2n+1-2,由分組求和得
試題解析:
(1)由題意得a1=m,a2=2a1=2m,a3=a2+r=2m+r,
由a3=a1,得m+r=0.
當(dāng)m+r=0時,因為an+1= (k∈N*),
所以a1=a3=…=m,a2=a4=…=2m,故對任意的n∈N*,數(shù)列{an}都滿足an+2=an. 當(dāng)n=2k時,Sn=3(2k+1-k-2),再由的單調(diào)性求最小值即可得λ≤,當(dāng)n=2k-1時,Sn=S2k-a2k=2k+2-3k-4,再由的單調(diào)性求最小值即可得λ≤,從而得解.
即當(dāng)實數(shù)m,r滿足m+r=0時,符合題意.
(2)存在.依題意,a2n+1=a2n+r=2a2n-1+r,
則a2n+1+r=2(a2n-1+r),
因為a1+r=m+r,
所以當(dāng)m+r≠0時,{a2n+1+r}是等比數(shù)列,且a2n+1+r=(a1+r)2n=(m+r)2n.
為使{a2n+1+p}是等比數(shù)列,則p=r.
同理,當(dāng)m+r≠0時,a2n+2r=(m+r)2n,{a2n+2r}是等比數(shù)列,欲使{a2n+q}是等比數(shù)列,則q=2r.
綜上所述,
①若m+r=0,則不存在實數(shù)p,q,使得{a2n+1+p}與{a2n+q}是等比數(shù)列;
②若m+r≠0,則當(dāng)p,q滿足q=2p=2r時,{a2n+1+p}與{a2n+q}是同一個等比數(shù)列.
(3)當(dāng)m=r=1時,由(2)可得a2n-1=2n-1,a2n=2n+1-2,
當(dāng)n=2k時,an=a2k=2k+1-2,
Sn=S2k=(21+22+…+2k)+(22+23+…+2k+1)-3k
=3(2k+1-k-2),所以=3.
令ck=,
則ck+1-ck=-=<0,
所以≥,即λ≤.
當(dāng)n=2k-1時,an=a2k-1=2k-1,
Sn=S2k-a2k=3(2k+1-k-2)-(2k+1-2)=2k+2-3k-4,
所以=4-,同理可得≥1,即λ≤1.
綜上所述,實數(shù)λ的最大值為1.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為緩減人口老年化帶來的問題,中國政府在2016年1月1日作出全國統(tǒng)一實施全面的“二孩”政策,生“二孩”是目前中國比較流行的元素某調(diào)查機構(gòu)對某校學(xué)生做了一個是否同意父母生“二孩”抽樣調(diào)查,該調(diào)查機構(gòu)從該校隨機抽查了100名不同性別的學(xué)生,調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”現(xiàn)已得知100人中同意父母生“二孩”占,統(tǒng)計情況如表:
性別屬性 | 同意父母生“二孩” | 反對父母生“二孩” | 合計 |
男生 | 10 | ||
女生 | 30 | ||
合計 | 100 |
請補充完整上述列聯(lián)表;
根據(jù)以上資料你是否有把握,認為是否同意父母生“二孩”與性別有關(guān)?請說明理由.
參考公式與數(shù)據(jù):,其中
k |
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在等差數(shù)列中, ,其前項和為.
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列滿足,求數(shù)列的前項和.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是首項為a,公差為d的等差數(shù)列(d≠0), 是其前n項的和.記,n∈N*,其中c為實數(shù).
(1)若c=0,且b1,b2,b4成等比數(shù)列,證明:Snk=n2Sk(k,n∈N*);
(2)若{}是等差數(shù)列,證明:c=0.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中, 橢圓的中心在坐標(biāo)原點,其右焦點為,且點 在橢圓上.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左、右頂點分別為,是橢圓上異于的任意一點,直線交橢圓于另一點,直線交直線于點, 求證:三點在同一條直線上
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)對任意的均有則稱函數(shù)具有性質(zhì)
(Ⅰ)判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì)并說明理由.
①②
(Ⅱ)若函數(shù)具有性質(zhì),且
求證:對任意有
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否對任意均有若成立,給出證明;若不成立,給出反例.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校藝術(shù)節(jié)對同一類的,,,四項參賽作品,只評一項一等獎,在評獎揭曉前,甲、乙、丙、丁四位同學(xué)對這四項參賽作品預(yù)測如下:
甲說:“是或作品獲得一等獎”;
乙說:“作品獲得一等獎”;
丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”;
丁說:“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學(xué)中只有兩位說的話是對的,則獲得一等獎的作品是__________.
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com