Question

（本小題滿分13分）
已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的動(dòng)直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是．
（I）證明，為常數(shù)；
（II）若動(dòng)點(diǎn)滿足（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程．

Answer 1

（I）為常數(shù)
（II）點(diǎn)的軌跡方程是

解：由條件知，設(shè)，．
（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
此時(shí)．
當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．
代入，有．
則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，
于是


．
綜上所述，為常數(shù)．
（II）解法一：設(shè)，則，，
，，由得：
即
于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．
當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150249901254.gif" style="vertical-align:middle;" />兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得
，即．
將代入上式，化簡(jiǎn)得．
當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．
所以點(diǎn)的軌跡方程是．
解法二：同解法一得……………………………………①
當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I） 有．…………………②
．………………………③
由①②③得．…………………………………………………④
．……………………………………………………………………⑤
當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有
．整理得．
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．
當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．
故點(diǎn)的軌跡方程是．