13.公園里有一扇形湖面,管理部門(mén)打算在湖中建一三角形觀景平臺(tái),希望面積與周長(zhǎng)都最大.如圖所示扇形AOB,圓心角AOB的大小等于$\frac{π}{3}$,半徑為2百米,在半徑OA上取一點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)C作平行于OB的直線交弧AB于點(diǎn)P.設(shè)∠COP=θ;
(1)求△POC面積S(θ)的函數(shù)表達(dá)式.
(2)求S(θ)的最大值及此時(shí)θ的值.

分析 (1)由已知可得∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ,利用正弦定理可求CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ,OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin($\frac{π}{3}$-θ),利用三角形面積公式即可得解.
(2)由三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得S(θ)=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin(2θ+$\frac{π}{6}$)-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求S(θ)的最大值及此時(shí)θ的值.

解答 (本題滿(mǎn)分為12分)
解:(1)∵CP∥OB,
∴∠CPO=∠POB=$\frac{π}{3}$-θ,
在△POC中,由正弦定理得:$\frac{OP}{sin∠PCO}$=$\frac{CP}{sinθ}$,即$\frac{2}{sin\frac{2π}{3}}$=$\frac{CP}{sinθ}$,
∴CP=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ,
又∵$\frac{OC}{sin(\frac{π}{3}-θ)}$=$\frac{OP}{sin\frac{2π}{3}}$,
∴OC=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin($\frac{π}{3}$-θ).----------4分
于是S(θ)=$\frac{1}{2}$CP•OC•$\frac{2π}{3}$=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ×$\frac{4}{\sqrt{3}}$sin($\frac{π}{3}$-θ)×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•sin($\frac{π}{3}$-θ),-----------------------------------------------------------6分
(2)由(1)知S(θ)=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•sin($\frac{π}{3}$-θ)
=$\frac{4}{\sqrt{3}}$sinθ•($\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ-$\frac{1}{2}$sinθ)
=2sinθcosθ-$\frac{2}{\sqrt{3}}$sin2θ
=sin2θ+$\frac{\sqrt{3}}{3}$cos2θ-$\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin(2θ+$\frac{π}{6}$)-$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴θ=$\frac{π}{6}$時(shí),S(θ)取得最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$.---------------------------------12分.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理,三角形面積公式,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

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