【題目】若數(shù)列同時滿足：①對于任意的正整數(shù)， 恒成立；②對于給定的正整數(shù)， 對于任意的正整數(shù)恒成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”.

（1）已知判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”，并說明理由；

（2）已知數(shù)列是“數(shù)列”，且存在整數(shù)，使得， ， ， 成等差數(shù)列，證明： 是等差數(shù)列.

【答案】（1）是（2）見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)定義驗證兩個條件是否成立，由于函數(shù)為分段函數(shù)，所以分奇偶分別驗證（2）根據(jù)定義數(shù)列隔項成等差，再根據(jù)單調(diào)性確定公差相等，最后求各項通項，根據(jù)通項關(guān)系得數(shù)列通項，根據(jù)等差數(shù)列證結(jié)論

試題解析：（1）當(dāng)為奇數(shù)時， ，所以.

.

當(dāng)為偶數(shù)時， ，所以.

.

所以，數(shù)列是“數(shù)列”.

（2）由題意可得： ，

則數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為，

數(shù)列， ， ， 是等差數(shù)列，設(shè)其公差為.

因為，所以，

所以，

所以①，②.

若，則當(dāng)時，①不成立；

若，則當(dāng)時，②不成立；

若，則①和②都成立，所以.

同理得： ，所以，記.

設(shè) ，

則

.

同理可得： ，所以.

所以是等差數(shù)列.

【另解】 ，

，

，

以上三式相加可得： ，所以，

所以 ，

，

，

所以，所以，

所以，數(shù)列是等差數(shù)列.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點到經(jīng)過兩點，的直線的距離為．

（Ⅰ）求橢圓的離心率；

（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，直線.

（1）求直線所過定點A的坐標(biāo)；

（2）求直線被圓C所截得的弦長最短時直線的方程及最短弦長；

（3）已知點M(-3,4)，在直線MC上(C為圓心)，存在定點N(異于點M)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)， 試求所有滿足條件的點N的坐標(biāo)及該常數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：如果一個數(shù)列從第二項起，后一項與前一項的和相等且為同一常數(shù)，這樣的數(shù)列叫“等和數(shù)列”，這個常數(shù)叫公和．給出下列命題：

①“等和數(shù)列”一定是常數(shù)數(shù)列；

②如果一個數(shù)列既是等差數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；

③如果一個數(shù)列既是等比數(shù)列又是“等和數(shù)列”，則這個數(shù)列一定是常數(shù)列；

④數(shù)列是“等和數(shù)列”且公和，則其前項之和；

其中，正確的命題為__________．（請?zhí)畛鏊姓_命題的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，過右焦點F的直線l與C相交于A、B兩點，當(dāng)l的斜率為1時，坐標(biāo)原點O到l的距離為2。

（1）求橢圓C的方程；

（2）橢圓C上是否存在一點P，使得當(dāng)l繞F轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求點P的坐標(biāo)與直線l的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對某校高三年級學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)進行統(tǒng)計，隨機抽取M名學(xué)生作為樣本，得到這M名學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)．根據(jù)此數(shù)據(jù)作出了頻數(shù)與頻率的統(tǒng)計表如下，頻率分布直方圖如圖：

分組

頻數(shù)

頻率

[10，15）

10

0.25

[15，20）

24

n

[20，25）

m

p

[25，30）

2

0.05

合計

M

1

（1）求出表中M，p及圖中a的值；

（2）若該校高三學(xué)生有240人，試估計該校高三學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)在區(qū)間[10，15）內(nèi)的人數(shù)；

（3）在所取樣本中，從參加社區(qū)服務(wù)的次數(shù)不少于20次的學(xué)生中任選2人，求至多一人參加社區(qū)服務(wù)次數(shù)在區(qū)間[25，30）內(nèi)的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在四棱錐中， 為正三角形，平面平面， ， ， .

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）在棱上是否存在點，使得平面?若存在，請確定點的位置并證明；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)生參加4門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平測試，每門得等級的概率都是，該學(xué)生各學(xué)科等級成績彼此獨立.規(guī)定：有一門學(xué)科獲等級加1分，有兩門學(xué)科獲等級加2分，有三門學(xué)科獲等級加3分，四門學(xué)科全獲等級則加5分，記表示該生的加分數(shù)， 表示該生獲等級的學(xué)科門數(shù)與未獲等級學(xué)科門數(shù)的差的絕對值.

（1）求的數(shù)學(xué)期望；

（2）求的分布列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x|2-a≤x≤2+a},B={x|x≤1或x≥4}.

(1)當(dāng)a=3時，求A∩B；

(2)若a>0，且A∩B=，求實數(shù)a的取值范圍．

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