【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)為A，B，右焦點(diǎn)為F.過(guò)點(diǎn)A且斜率為k（）的直線交橢圓C于另一點(diǎn)P.

（1）求橢圓C的離心率；

（2）若，求的值；

（3）設(shè)直線l:，延長(zhǎng)AP交直線l于點(diǎn)Q，線段BQ的中點(diǎn)為E，求證：點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)在直線PF上.

【答案】（1）（2）（3）詳見(jiàn)解析

【解析】

第一問(wèn)利用離心率的公式直接求解；第二問(wèn)將直線AP的方程為與橢圓C的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出的值；第三問(wèn)先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及直線PF的斜率、直線EF的斜率，最后根據(jù)得出即可證明.

（1）因?yàn)闄E圓C：，所以，，.又，所以，，所以橢圓C的離心率.

（2）因?yàn)橹本�AP的斜率為，且過(guò)橢圓C的左頂點(diǎn)，

所以直線AP的方程為.代入橢圓C的方程，

得，即，解得或（舍去），將代入，得，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.又橢圓C的右頂點(diǎn)B（2t,0），

所以，，所以.

（3）直線AP的方程為，將代入，得，所以.因?yàn)?/span>E為線段BQ的中點(diǎn)，所以，因?yàn)榻裹c(diǎn)F的坐標(biāo)為（t,0），

所以直線EF的斜率.聯(lián)立消y得，.由于，，所以，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

所以直線PF的斜率.而直線EF的斜率為2k，

若設(shè)，則有，即，

所以點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)在直線PF上.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）求雙曲線的方程；

（2）過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線，垂足分別為、，求的值；

（3）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線于、兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：

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（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)軸正半軸上一點(diǎn)作斜率為的直線.

①若與圓和橢圓都相切，求實(shí)數(shù)的值；

②直線在軸左側(cè)交圓于、兩點(diǎn)，與橢圓交于點(diǎn)、（從上到下依次為、、、），且，求實(shí)數(shù)的最大值.

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（1）若廣告商要求包裝盒側(cè)面積S（cm）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？

（2）若廣告商要求包裝盒容積V（cm）最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值。

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（1）求的表達(dá)式；

（2）設(shè)集合，，若（為空集），求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）設(shè)，若函數(shù)（）的值域?yàn)?/span>，求實(shí)數(shù)、的值.

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