Question

12．某志愿者到某山區(qū)小學(xué)支教，為了解留守兒童的幸福感，該志愿者對(duì)某班40名學(xué)生進(jìn)行了一次幸福指數(shù)的調(diào)查問(wèn)卷，并用莖葉圖表示如圖（注：圖中幸福指數(shù)低于70，說(shuō)明孩子幸福感弱；幸福指數(shù)不低于70，說(shuō)明孩子幸福感強(qiáng)）．
（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表，并判斷能否有95%的把握認(rèn)為孩子的幸福感強(qiáng)與是否是留守兒童有關(guān)？

	幸福感強(qiáng)	幸福感弱	總計(jì)
留守兒童	6	9	15
非留守兒童	18	7	25
總計(jì)	24	16	40

（2）從15個(gè)留守兒童中按幸福感強(qiáng)弱進(jìn)行分層抽樣，共抽取5人，又在這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行家訪(fǎng)，求這2個(gè)學(xué)生中恰有一人幸福感強(qiáng)的概率．
參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$．
附表：

P（K2≥k0）	0.050	0.010
k0	3.841	6.635

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值表得出結(jié)論；
（2）按分層抽樣方法抽出幸福感強(qiáng)的孩子，利用列舉法得出基本事件數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的概率值．

解答 解：（1）根據(jù)題意，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表如下：

	幸福感強(qiáng)	幸福感弱	總計(jì)
留守兒童	6	9	15
非留守兒童	18	7	25
總計(jì)	24	16	40

計(jì)算${K^2}=\frac{{40×{{（{6×7-9×18}）}^2}}}{15×25×24×16}=4＞3.841$，
對(duì)照臨界值表得，有95%的把握認(rèn)為孩子的幸福感強(qiáng)與是否留守兒童有關(guān)；…（6分）
（2）按分層抽樣的方法可抽出幸福感強(qiáng)的孩子2人，記作：a₁，a₂；
幸福感弱的孩子3人，記作：b₁，b₂，b₃；
“抽取2人”包含的基本事件有（a₁，a₂），（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃），
（b₁，b₂），（b₁，b₃），（b₂，b₃）共10個(gè)；…（8分）
事件A：“恰有一人幸福感強(qiáng)”包含的基本事件有
（a₁，b₁），（a₁，b₂），（a₁，b₃），
（a₂，b₁），（a₂，b₂），（a₂，b₃）共6個(gè)；…（10分）
故所求的概率為$P（A）=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)立性檢驗(yàn)與分層抽樣方法和列舉法求古典概型的概率問(wèn)題，是綜合性題目．