【題目】【2017河北唐山三模】已知函數(shù), .

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若函數(shù)在區(qū)間有唯一零點,證明: .

【答案】)見解析;()見解析.

【解析】試題分析:()求導(dǎo)得, 分, ,三種情況討論可得單調(diào)區(qū)間.

)由(1)及可知:僅當(dāng)極大值等于零,即

所以,且,消去,構(gòu)造函數(shù),證明單調(diào)且零點存在且唯一即可.

試題解析:( ,

, ,

,即,則

當(dāng)時, 單調(diào)遞增,

,即,則,僅當(dāng)時,等號成立,

當(dāng)時, , 單調(diào)遞增.

,即,則有兩個零點 ,

,

當(dāng)時, , 單調(diào)遞增;

當(dāng)時, , 單調(diào)遞減;

當(dāng)時, , 單調(diào)遞增.

綜上所述,

當(dāng)時, 上單調(diào)遞增;

當(dāng)時, 上單調(diào)遞增,

上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)由(1)及可知:僅當(dāng)極大值等于零,即時,符合要求.

此時, 就是函數(shù)在區(qū)間的唯一零點.

所以,從而有,

又因為,所以,

,則,

設(shè),則,

再由(1)知: , , 單調(diào)遞減,

又因為, ,

所以,即

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