【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）若，求曲線在點處的切線方程；

（2）若，求零點的個數(shù)；

（3）若為整數(shù)，且當時， 恒成立，求的最大值.

（參考數(shù)據(jù)， ， ）

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時，由，且，即可求解再點處的切線方程；

（2）當時， ，求得，從而得到在， 單調(diào)遞減，當時， 單調(diào)遞增，確定函數(shù)的極值，再根據(jù)零點的存在定理，即可得到函數(shù)有兩個不同的零點.

（3）由題意知， 對恒成立，即對恒成立，令，得，從而判定出函數(shù)的單調(diào)性，進而得到存在， ，即，得到函數(shù)的最小值，再由

，所以的取值范圍，得出結(jié)論.

試題解析：

（1）當時， .因為，從而.

又，所以曲線在點處的切線方程，

即.

（2）當時， .因為，從而，

當， ， 單調(diào)遞減；當時， ， 單調(diào)遞增.

所以當時， 有極小值.

因， ，所以在之間有一個零點.

因為，所以在之間有一個零點.

從而有兩個不同的零點.

（3）由題意知， 對恒成立，

即對恒成立.

令，則.

設(shè)，則.

當時， ，所以在為增函數(shù).

因為， ，

所以存在， ，即.

當時， ， 單調(diào)遞減，當時， ， 單調(diào)遞增.

所以當時， 的最小值.

因為，所以.

故所求的整數(shù)的最大值為.

練習冊系列答案
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（參考數(shù)據(jù)： ， ）.

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