【題目】,).

(1)求函數(shù)的零點(diǎn);

(2)設(shè)、均為正整數(shù),且為最簡(jiǎn)根式,若存在,使得可唯一表示為的形式(),求證:;

(3)已知,是否存在,使得

成立,若存在,試求出的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1);(2)證明略;(3)存在.

【解析】

(1)寫出F(x)的解析式,解方程F(x)=0,可得零點(diǎn);

(2)由題意可得,兩式相乘可得證明

(3)由條件可得t+s=ts,假設(shè)存在n1N*,使得成立,化簡(jiǎn)整理求出滿足條件的t,sn1的值。

(1)函數(shù)F(x)=f2(x-1)-1=(x-1)2-1,x>1,

F(x)=0,解得x=2(0舍去),

即有F(x)的零點(diǎn)為2

(2)證明:若存在n0N*

使得可唯一表示為的形式(

即有,

兩式相乘可得22μ|n0=T-(T-1)=1

可得22μ|=1

(3)假設(shè)存在n1N*,使得成立

f-1(t)+f-1(s)=1,可得t-1+s-1=1,即t+s=ts

由假設(shè)可得

即為

即有

可取t=s=2,n1可取一切正整數(shù),上式成立。

則存在n1N*,使得成立

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