【題目】已知橢圓的左、右頂點為，，橢圓上任意一點，滿足，且橢圓過點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設(shè)是軌跡上的兩個動點，線段的中點在直線 （為參數(shù)）上，線段的中垂線與交于兩點，是否存在點，使以為直徑的圓經(jīng)過點，若存在，求出點坐標，若不存在，請說明理由.

【答案】(1) (2) 存在點符合條件，坐標為.

【解析】

（1）設(shè)，，，根據(jù)題意列出方程，聯(lián)立求解即可；

（2）直線參數(shù)方程轉(zhuǎn)換為普通方程，當(dāng)直線垂直于軸時，三點共線不符合題意；當(dāng)直線不垂直與軸時，設(shè)存在點，直線的斜率為，，，，，根據(jù)題意利用圓的性質(zhì)和垂直向量點積為0，列出方程求解可得答案.

解：（1）設(shè)，，，則 ，

,

橢圓過點， ②

聯(lián)立①②解得：

所求橢圓方程為：

（2）將直線的參數(shù)方程： （為參數(shù)）化為普通方程，

當(dāng)直線垂直于軸時，直線方程為：，

此時 ，與點三點共線，不合題意；

當(dāng)直線不垂直與軸時，設(shè)存在點，直線的斜率為，，，，

由 得：，則 ，故

此時，直線斜率為，的直線方程為，即

聯(lián)立，整理得：

所以，

由題意，于是

，因為在橢圓內(nèi)，，符合題意；

綜上，存在點符合條件，坐標為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在甲地，隨著人們生活水平的不斷提高，進入電影院看電影逐漸成為老百姓的一種娛樂方式.我們把習(xí)慣進入電影院看電影的人簡稱為“有習(xí)慣”的人，否則稱為“無習(xí)慣的人”.某電影院在甲地隨機調(diào)查了100位年齡在15歲到75歲的市民，他們的年齡的頻數(shù)分布和“有習(xí)慣”的人數(shù)如下表：

（1）以年齡45歲為分界點，請根據(jù)100個樣本數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為“有習(xí)慣”的人與年齡有關(guān)；

（2）已知甲地從15歲到75歲的市民大約有11萬人，以頻率估計概率，若每張電影票定價為元，則在“有習(xí)慣”的人中約有的人會買票看電影(為常數(shù)).已知票價定為30元的某電影，票房達到了 69.3萬元.某新影片要上映，電影院若將電影票定價為25元，那么該影片票房估計能達到多少萬元？

參考公式：，其中.

參考臨界值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若有兩個相異零點，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知動點G(x,y)滿足

（1）求動點G的軌跡C的方程；

（2）過點Q(1,1)作直線L與曲線交于不同的兩點,且線段中點恰好為Q.求的面積；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中為常數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若是的一條切線，求的值；

（3）已知，為整數(shù)，若對任意，都有恒成立，求的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠抽取了一臺設(shè)備在一段時間內(nèi)生產(chǎn)的一批產(chǎn)品，測量一項質(zhì)量指標值，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）計算該樣本的平均值，方差；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）

（2）根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這臺設(shè)備在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的產(chǎn)品的質(zhì)量指標值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差.任取一個產(chǎn)品，記其質(zhì)量指標值為.若，則認為該產(chǎn)品為一等品；，則認為該產(chǎn)品為二等品；若，則認為該產(chǎn)品為不合格品.已知設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)這種產(chǎn)品1000個.

（i）用樣本估計總體，問該工廠一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中不合格品是否超過？

（ii）某公司向該工廠推出以舊換新活動，補足50萬元即可用設(shè)備換得生產(chǎn)相同產(chǎn)品的改進設(shè)備.經(jīng)測試，設(shè)備正常狀態(tài)下每天生產(chǎn)產(chǎn)品1200個，生產(chǎn)的產(chǎn)品為一等品的概率是，二等品的概率是，不合格品的概率是.若工廠生產(chǎn)一個一等品可獲得利潤50元，生產(chǎn)一個二等品可獲得利潤30元，生產(chǎn)一個不合格品虧損40元，試為工廠做出決策，是否需要換購設(shè)備？

參考數(shù)據(jù)：①；②；③，.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；

（2）若對任意都恒成立，求證：a的最大值大于8．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】改革開放40年來，體育產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展反映了“健康中國”理念的普及．下圖是我國2006年至2016年體育產(chǎn)業(yè)年增加值及年增速圖．其中條形圖表示體育產(chǎn)業(yè)年增加值（單位：億元），折線圖為體育產(chǎn)業(yè)年增長率（％）．

（Ⅰ）從2007年至2016年這十年中隨機選出一年，求該年體育產(chǎn)業(yè)年增加值比前一年多億元以上的概率；

（Ⅱ）從2007年至2011年這五年中隨機選出兩年，求至少有一年體育產(chǎn)業(yè)年增長率超過25%的概率；

（Ⅲ）由圖判斷，從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增長率方差最大？從哪年開始連續(xù)三年的體育產(chǎn)業(yè)年增加值方差最大？（結(jié)論不要求證明）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】據(jù)氣象局統(tǒng)計，某市2019年從1月1日至1月30日這30天里有26天出現(xiàn)霧霾天氣.國際上通常用環(huán)境空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）來描述污染狀況，下表是某氣象觀測點記錄的連續(xù)4天里，該市AQI指數(shù)與當(dāng)天的空氣水平可見度的情況.

AQI指數(shù)

900

700

300

100

空氣水平可見度

0.5

3.5

6.5

9.5

（1）設(shè)，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的回歸方程；

（2）若某天該市AQT指數(shù)，那么當(dāng)天空氣水平可見度大約為多少？

附：參考數(shù)據(jù)：，.

參考公式：線性回歸力程中，，，其中為樣本平均數(shù).

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