【題目】在三棱錐中,平面,,,,為的中點,為的中點.
(1)證明:平面平面;
(2)在線段上是否存在一點,使平面?若存在,指出點的位置并給出證明,若不存在,說明理由;
(3)若,求二面角的大小.
【答案】(1)證明見解析 (2)存在,點為上靠近的四等分點即 (3)120°
【解析】
(1)證明,得到平面,得到答案.
(2)取的中點,連接,證明得到答案.
(3)如圖所示建立空間直角坐標系,計算面的一個法向量為,面的一個法向量為,計算夾角得到答案.
(1)平面,面,,
又因為,,面,平面,
而平面,平面平面
(2)存在點為上靠近的四等分點即時,平面.
取的中點,連接,是的中點,為的中點,.
面,面,平面.
為的中點,,,
面,面,平面.
,面,面平面.
面,平面.
(3)過作于,則平面,過作的平行線交于,以為坐標原點,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,以所在的直線為軸,建立空間直角坐標系,面的一個法向量為
若,,,,,,,從而,,,,
面的一個法向量為,,,
則,即,即
取,則
從而,
因為二面角是鈍二面角,所以二面角的大小是120°.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”魏晉時期數(shù)學家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補原理給出了這個問題的一般解法:如圖1,用對角線將長和寬分別為和的矩形分成兩個直角三角形,每個直角三角形再分成一個內(nèi)接正方形(黃)和兩個小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進行重組,得到如圖2所示的矩形.該矩形長為,寬為內(nèi)接正方形的邊長.由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論,如圖3.設(shè)為斜邊的中點,作直角三角形的內(nèi)接正方形對角線,過點作于點,則下列推理正確的是( )
①由圖1和圖2面積相等得;
②由可得;
③由可得;
④由可得.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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【題目】已知函數(shù),,.
(1)求函數(shù)的極值;
(2)直線為函數(shù)圖象的一條切線,若對任意的,都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)(cosθ+1)cos2x+cosθ(cosx+1),有下述四個結(jié)論:①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在(,)上單調(diào)遞減;③當θ∈[,]時,有|f(x)|;④當θ∈[,]時,有|f'(x)|;其中所有真命題的編號是( )
A.①③B.②④C.①③④D.①④
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【題目】已知點P(x,y)是平面內(nèi)的動點,定點F(1,0),定直線l:x=﹣1與x軸交于點E,過點P作PQ⊥l于點Q,且滿足 .
(1)求動點P的軌跡t的方程;
(2)過點F作兩條互相垂直的直線,分別交曲線t于點A,B,和點C,D.設(shè)線段AB和線段CD的中點分別為M和N,記線段MN的中點為K,點O為坐標原點,求直線OK的斜率k的取值范圍.
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【題目】已知是拋物線上位于軸兩側(cè)的不同兩點
(1)若在直線上,且使得以為頂點的四邊形恰為正方形,求該正方形的面積.
(2)求過、的切線與直線圍成的三角形面積的最小值;
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【題目】設(shè).
(1)若,且為函數(shù)的一個極值點,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若,且函數(shù)的圖象恒在軸下方,其中是自然對數(shù)的底數(shù),求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)為等差數(shù)列的前n項和,是正項等比數(shù)列,且,.在①,②,③這三個條件中任選一個,回答下列為題:
(1)求數(shù)列和的通項公式;
(2)如果(m,),寫出m,n的關(guān)系式,并求.
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【題目】已知圓:,點,點是圓上任意一點,線段的垂直平分線交線段于點.
(1)求點的軌跡方程.
(2)設(shè)點,是的軌跡上異于頂點的任意兩點,以為直徑的圓過點.求證直線過定點,并求出該定點的坐標.
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