Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=x²（x-a），若?x∈[1，2]，使不等式f（x）＜-1成立，求參數(shù)a．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：轉(zhuǎn)化思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當a≤0時，在x∈[1，2]上f′（x）＞0恒成立，f（x）為增函數(shù)，求出函數(shù)在[1，2]上的最大值，由最大值小于-1求得a的范圍，和a≤0取交集；當a＞0時，求出導(dǎo)函數(shù)的大于0的零點，分析出單調(diào)性，分原函數(shù)在[1，2]上為增函數(shù)、減函數(shù)、既減又增幾類情況求函數(shù)的最大值，由最大值小于-1求得a的范圍，最后去并集得答案．

解答： 解：∵f（x）=x²（x-a），
∴f′（x）=3x²-2ax，
當a≤0時，在x∈[1，2]上f′（x）＞0恒成立，f（x）為增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=8-4a，
由8-4a＜-1，得a＞

9

4

，與a≤0矛盾；
當a＞0時，由f′（x）=0，得x₁=0，x2=

2a

3

．
當x∈（0，

2a

3

）時，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)，
當x∈（

2a

3

，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)．
若

2a

3

≤1，即0＜a≤

3

2

，f（x）在[1，2]上為增函數(shù)，f（x）_max=f（2）=8-4a，
由8-4a＜-1，得a＞

9

4

，與0＜a≤

3

2

矛盾；
若

2a

3

≥2，即a≥3，f（x）在[1，2]上為減函數(shù)，f（x）_max=f（1）=1-a，
由1-a＜-1，得a＞2，∴a≥3；
若1＜

2a

3

＜2，即

3

2

＜a＜3時，
則

3

2

＜a≤

7

3

時，f（x）_max=f（2）=8-4a，
由8-4a＜-1，得a＞

9

4

，
∴

9

4

＜a≤

7

3

；

7

3

＜a＜3時，f（x）_max=f（1）=1-a，
由1-a＜-1，得a＞2，
∴

7

3

＜a＜3．
綜上，對?x∈[1，2]，使不等式f（x）＜-1恒成立的參數(shù)a的范圍為（

9

4

，+∞）．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是正確分類，屬難度較大的綜合題．