Question

復(fù)數(shù)z=（3m-2）+（m-1）i，m∈R．
（1）m為何值時(shí)，z是純虛數(shù)？m取什么值時(shí)，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限？
（2）若（1+2x）^m（m∈N^*）的展開(kāi)式第3項(xiàng)系數(shù)為40，求此時(shí)m的值及對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的基本概念

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù),二項(xiàng)式定理

分析：（1）復(fù)數(shù)的實(shí)部為0，虛部不為0，z是純虛數(shù)；復(fù)數(shù)的實(shí)部大于0，虛部小于0，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求出m的范圍．
（2）利用（1+2x）^m（m∈N^*）的展開(kāi)式第3項(xiàng)系數(shù)為40，列出方程即可求此時(shí)m的值及對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z的值．

解答： 解：（1）復(fù)數(shù)z=（3m-2）+（m-1）i，m∈R．3m-2=0
且≠0時(shí)，即m=

2

3

時(shí)，z是純虛數(shù)．  

3m-2＞0 m-1＜0

，
解得

2

3

＜m＜1，
此時(shí)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．
（2）（1+2x）^m的展開(kāi)式第3項(xiàng)系數(shù)為

C

2 m

•22=40，化簡(jiǎn)得m²-m-20=0，
m=5或m=-4（負(fù)，舍去）．
∴m=5此時(shí)z=13+4i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理以及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算，考查計(jì)算能力．