Question

已知函數(shù)f（x）=cos2ωx+

3

sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）若f(θ)=-

1

2

，求θ的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及其圖象的對(duì)稱軸方程．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn) 函數(shù)f（x）的解析式為

1

2

+sin（2ωx+

π

6

），由周期性求出ω=1，由f(θ)=-

1

2

求出θ的值．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間，同理由由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，求得x的范圍，即可得到函數(shù)的減區(qū)間．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos2ωx+

3

sinωxcosωx=

1

2

（1+cos2ωx）+

3

2

sin2ωx=

1

2

+sin（2ωx+

π

6

）．
三角函數(shù)的周期性及其求法，因?yàn)閒（x）最小正周期為π，所以

2π

2ω

=1，解得ω=1，
由題意f(θ)=-

1

2

 可得  sin(2θ+

π

6

)+

1

2

=-

1

2

，sin(2θ+

π

6

)=-1，2θ+

π

6

=2kπ-

π

2

，
所以θ=kπ-

π

3

，k∈Z．
（2）由 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
同理，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得 kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈z，故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
由 2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z 得 x=

k

2

π+

π

6

，k∈z．
所以，f（x）圖象的對(duì)稱軸方程為  x=

k

2

π+

π

6

，k∈z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，三角函數(shù)的周期性及其求法，符合三角函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性，屬于中檔題．