Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）（x≥0）到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1．
（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求直線AB的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知得

(x-1)2+y2

=x+1，由此能求出動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y2=4x y=kx+2

，消去x，得：ky²-4y+8=0，由此利用根的判別式、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答： 解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)M（x，y）（x≥0）到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，
∴

(x-1)2+y2

=x+1，
整理，得y²=4x，
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2，k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=kx+2

，消去x，得：ky²-4y+8=0，
則△=16-32k＞0，解得k＜

1

2

，
∴y1y2=

8

k

，x1x2=

y12

4

•

y22

4

=

4

k2

，
∴以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0，
∴

4

k2

+

8

k

=0，解得k=-

1

2

，
直線l的方程為y=-

1

2

x+2．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程和直線方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．