Question

已知直線l與x軸正方向、y軸正方向交于A，B兩點(diǎn)，M，N是線段AB的三等分點(diǎn)，橢圓C經(jīng)過M，N兩點(diǎn)．
（1）若直線l的方程為2x+y-6=0，求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，其離心率e∈（0，

1

2

），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)镸，N是線段AB的三等分點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程列式求得a、b的值，進(jìn)而求得橢圓方程；
（2）先設(shè)A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），根據(jù)分點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M，N的坐標(biāo)，再就橢圓的焦點(diǎn)在x軸和y軸上分類討論，結(jié)合設(shè)而不求的方法即可求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）依題意A（3，0），B（0，6），
∵M(jìn)、N是線段AB的三等分點(diǎn)，∴不妨記M（1，4），N（2，2）…（3分）
設(shè)橢圓方程為ax²+by²=1（a＞0，b＞0，a≠b），
則

4a+4b=1 a+16b=1

，解得

b= 1 20 a= 1 5

，…（6分）
∴橢圓方程為

y2

20

+

x2

5

=1．                                  …（7分）
（2）設(shè)A（m，0），B（0，n），（m＞0，n＞0），則M（

m

3

，

2n

3

），N（

2m

3

，

n

3

），
…（8分）
①當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則

m2 9a2 + 4n2 9b2 =1 4m2 9a2 + n2 9b2 =1

，
∴

a2= 5 9 m2 b2= 5 9 n2

，得

n2

m2

=

b2

a2

=

a2-c2

a2

=1-e2，…（11分）
又∵k=-

n

m

，e∈(0，

1

2

)，
∴k∈（-1，-

3

2

）；                …（13分）
②當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，同法可得k∈（-

2 3

3

，-1），
綜上k∈（-1，-

3

2

）∪（-

2 3

3

，-1）．                    …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的定義和求法，橢圓的幾何意義，及直線與橢圓的關(guān)系，方程思想和分類討論思想，設(shè)而不求解決問題，屬基礎(chǔ)題．