Question

20．已知直線l：kx-y+k-$\sqrt{3}$=0與圓x²+y²=12交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若|AB|=4$\sqrt{3}$，則|CD|=8$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)直線與圓相交，圓x²+y²=（2$\sqrt{3}$）²可知：圓心為（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，弦長(zhǎng)為|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，說(shuō)明直線過(guò)圓心．求解k的值．得到直線AB的傾斜角，根據(jù)AOC和OBD是兩個(gè)全等的直角三角形，OA=OB=2$\sqrt{3}$，即可求出OC和OD．即可得到|CD|的長(zhǎng)度．

解答 解：由圓的方程x²+y²=（2$\sqrt{3}$）²可知：圓心為（0，0），半徑r=2$\sqrt{3}$，
∵弦長(zhǎng)為|AB|=4$\sqrt{3}$=2r，說(shuō)明，直線過(guò)圓心．
則有：0=k（0-1）-$\sqrt{3}$，解得k=$\sqrt{3}$，
直線AB的方程為：y=$\sqrt{3}$x．
設(shè)直線AB的傾斜角為θ，則tanθ=$\sqrt{3}$，
∴θ=60°
Rt△AOC中：|CO|=$\frac{|OA|}{cos60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}$=4$\sqrt{3}$
那么：|CD|=2|OC|=8$\sqrt{3}$
故答案為：8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，弦長(zhǎng)的問(wèn)題．是中檔題．