Question

已知函數(shù)，g（x）=x+ax³，a為常數(shù)．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域M；
（2）若a=0時(shí)，對(duì)于x∈M，比較f（x）與g（x）的大小；
（3）討論方程f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)．

Answer 1

解：（1）由，得：-1＜x＜1，∴函數(shù)f（x）的定義域M=（-1，1）． …（3分）
（2）令h（x）=f（x）-g（x），則a=0時(shí)，h（x）=．
又=（僅在x=0時(shí)，h'（x）=0）
∴h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，…（6分）∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，h（x）＜h（0）=0，f（x）＜g（x）；
當(dāng)x=0時(shí)，h（x）=h（0）=0，f（x）=g（x）；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h（x）＞h（0）=0，f（x）＞g（x）． …（8分）
（3）討論方程f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)，即討論h（x）=f（x）-g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
因?yàn)閔（x）=，所以=
①當(dāng)a＜0時(shí)，，x²＜1，所以h'（x）═（僅在x=0時(shí)，h'（x）=0）h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，
又h（0）=0，所以h（x）有唯一零點(diǎn)； …（9分）
②當(dāng)a=0時(shí)，由（2）知h（x）有唯一零點(diǎn)； …（10分）
③當(dāng)時(shí)，，0≤x²＜1h'（x）═（僅在x=0時(shí)，h'（x）=0）
所以h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，又h（0）=0，所以h（x）有唯一零點(diǎn)； …（11分）
④當(dāng)時(shí)，，h'（x）=，或時(shí)，h'（x）＞0，h（x）遞增，時(shí)，h'（x）＜0，h（x）遞減．，；
x→-1⁺時(shí)，h（x）→-∞； x→1^-時(shí)，h（x）→+∞，
∴h（x）在區(qū)間，及內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)．
…（13分）
綜上，當(dāng)時(shí)，方程f（x）=g（x）有唯一解；
當(dāng)時(shí)，方程f（x）=g（x）有三個(gè)解． …（14分）
分析：（1）由題意，真數(shù)大于0，可得不等式，從而確定函數(shù)f（x）的定義域M；
（2）a=0時(shí)，h（x）=．求導(dǎo)函數(shù)可知h（x）在M=（-1，1）內(nèi)是增函數(shù)，從而可解；
（3）討論方程f（x）=g（x）解的個(gè)數(shù)，即討論h（x）=f（x）-g（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．由于=，故對(duì)a進(jìn)行討論，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的定義域，考查利用單調(diào)性比較大小，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，有一定的難度．