Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的長軸長為4．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）利用橢圓的長軸長為4，可得，結(jié)合離心率可得，從而可得方程；

（2）聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理，驗(yàn)證是否成立即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，則由題設(shè)，得：，

解得，

所以，

故所求橢圓的方程為.

（2）存在實(shí)數(shù)使得以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．

理由如下：

設(shè)點(diǎn)，

將直線的方程代入，

并整理，得．（*）

則．

因?yàn)橐跃�段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，

所以，即．

又，

于是，

解得，

經(jīng)檢驗(yàn)知：此時(shí)（*）式的，符合題意．

所以當(dāng)時(shí)，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．