Question

一橢圓其中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在同一坐標(biāo)軸上，焦距為2

13

，一雙曲線和這橢圓有公共焦點(diǎn)，且雙曲線的半實(shí)軸比橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)小4，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率之比為7：3，求橢圓和雙曲線的方程．

Answer 1

分析：首先根據(jù)焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上進(jìn)行分類，不妨先設(shè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)題意與橢圓、雙曲線的性質(zhì)列方程組，再解方程組求得焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，最后把焦點(diǎn)在y軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程補(bǔ)充上即可．

解答：解：若橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，則設(shè)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為

x2

a12

+

y2

b12

=1、

x2

a22

-

y2

b22

=1，
由題意得

a12-b12=13 a22+b22=13 a1-a2=4 c a2 c a1 = a1 a2 = 7 3

解得a₁=7，a₂=3，b₁=6，b₂=2，
所以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為

x2

49

+

y2

36

=1和

x2

9

-

y2

4

=1；
同理焦點(diǎn)在y軸上的橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為

y2

49

+

x2

36

=1和

y2

9

-

x2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．