Question

函數y=log_ax當x＞2 時恒有|y|＞1，則a的取值范圍是（　�。�

• A．

  1

  2

  ≤a≤2且a≠1
• B．0＜a≤

  1

  2

  或1＜a≤2
• C．1＜a≤2
• D．a≥1或0＜a≤

  1

  2

Answer 1

分析：根據對數函數的單調性與底數的關系，進而對底數的范圍時行分類討論，分兩類解出使不等式恒成立的a的取值范圍，再求它們的并集．

解答：解：因為函數y=log_ax在x∈（2，+∞）上總有|y|＞1，
所以a分兩種情況討論，即0＜a＜1與a＞1．
①當0＜a＜1時，函數y=log_ax在x∈（2，+∞）上單調遞減，并且有|y|＞1恒成立，
即總有y＜-1，則只需函數的最大值小于-1即可，
因為區(qū)間（2，+∞）是開區(qū)間，
所以有loga2≤-1∴a≥

1

2

，
解得：

1

2

≤a＜1．
②當a＞1時，函數y=log_ax在x∈（2，+∞）上單調遞增，并且有|y|＞1恒成立，
即總有y＞1，則只需函數的最小值大于1即可，
因為區(qū)間（2，+∞）是開區(qū)間，
所以有l(wèi)og_a2≥1，解得：1＜a≤2．
由①②可得

1

2

≤a＜1或1＜a≤2
故選A．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握絕對值不等式與指、對不等式解答方法，即熟練掌握指數函數與對數函數的有關性質，一般解指數、對數不等式時當底數是參數時一般需要對參數的范圍時進行分類討論，此題考查了恒成立問題（即求最值問題）與分類討論的數學思想，屬于中檔題．