Question

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=2an﹣2，數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為a1 ， 公差不為零的等差數(shù)列，且b1 ， b3 ， b11成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ，前n項(xiàng)和為Pn ， 對(duì)于n∈N*不等式 Pn＜t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2a1﹣2，a1=2，

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（2an﹣2）﹣（2an﹣1﹣2）=2an﹣2an﹣1，

得an=2an﹣1，

∴數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，

∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n．

則b1=a1=2，設(shè)公差為d，則b1，b3，b11成等比數(shù)列，

得（2+2d）2=2×（2+10d），

解得d=0（舍去）或d=3

∴數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=3n﹣1

（2）解：cn= = = （ ﹣ ）

則pn= （ +…+ - ）= （ ） ，

又對(duì)于n∈N*不等式 Pn＜t恒成立，

所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是t≥

【解析】（1）根據(jù)當(dāng)n=1時(shí)a1=S1 ， 當(dāng)n≥2時(shí)an=Sn﹣Sn﹣1 ， 判斷出數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，并求出
an ， 由等比中項(xiàng)的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出bn；（2）由（1）和題意求出cn ， 利用裂項(xiàng)相消法求出前n項(xiàng)和Pn ， 化簡(jiǎn)后求出Pn的范圍，由恒成立求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式（及其變式）(通項(xiàng)公式：)，還要掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．