設(shè)函數(shù)f(x)=
m3
x3+x2+2(m≠0)．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，求m的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（3）若m＜0且f（x）的圖象與直線y=3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)）f′（x）=mx2+2x，再根據(jù)函數(shù)f（x）在x=1處取得極值得f′（1）=m+2=0，從而可求m的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)f/(x)=mx2+2x=mx(x+
2
m
)，令其大于0，對(duì)m進(jìn)行討論，從而求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間．
（3）要使（x）的圖象與直線y=3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則f(x)max=f(-
2
m
)＜3，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）f′（x）=mx2+2x，∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，∴f′（1）=m+2=0，∴m=-2   
（2）f/(x)=mx2+2x=mx(x+
2
m
)，當(dāng)m＞0時(shí)，增區(qū)間為(-∞，-
2
m
)及（0，+∞）； 當(dāng)m＜0時(shí)，增區(qū)間為(0，-
2
m
)
（3）由（2）知，函數(shù)當(dāng)x=-
2
m
時(shí)，函數(shù)取得最大值，要使（x）的圖象與直線y=3有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則f(x)max=f(-
2
m
)＜3，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍(-
2
3
3
，0)
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及求最值和利用導(dǎo)數(shù)研究圖象等問(wèn)題，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)（q是常數(shù)且q＞0，q≠1，）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)q=
1
3
時(shí)，試證明a1+a2+…+an＜
1
2
；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整數(shù)m，使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
≥
m
3
對(duì)任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
p
=(x，a-3)，
q
=(x，x+a)，f(x)=
p
•
q
．
（Ⅰ）若方程f（x）=0在區(qū)間（1，+∞）上有兩實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）設(shè)實(shí)數(shù)m、n、r滿足：m、n、r中的某一個(gè)數(shù)恰好等于a，且另兩個(gè)恰為方程f（x）=0的兩實(shí)根，判斷①m+n+r，②m2+n2+r2，③m3+n3+r3是否為定值？若是定值請(qǐng)求出；若不是定值，請(qǐng)把不是定值的表示為函數(shù)g（a），并求g（a）的最小值；
（Ⅲ）給定函數(shù)h（x）=bx+1（b＞0），若對(duì)任意的x0∈[2，3]，總存在x1∈[1，2]，使得g（x0）=h（x1），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=px2+qx，其中p＞0，p+q＞1，對(duì)于數(shù)列{an}，設(shè)它的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn=f（n）（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并證明an+1＞an＞1（n∈N*）；
（2）求證：點(diǎn)M1(1，
S1
1
)，M2(2，
S2
2
)，M3(3，
S3
3
)，…，Mn(n，
Sn
n
)在同一直線l1上；
（3）若過(guò)點(diǎn)N1（1，a1），N2（2，a2）作直線l2，設(shè)l2與l1的夾角為θ，求tanθ的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2007屆南通中學(xué)高三第二次調(diào)研、數(shù)學(xué) 題型：013

設(shè)函數(shù)f(x)＝2x＋的反函數(shù)為f–1(x)，且f［f－1(m3－3m)］＝m，則m的值為

[　　]

A．±2

B．0

C．0或±2

D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：揭陽(yáng)二模 題型：解答題

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn和通項(xiàng)an滿足Sn=
q
q-1
(an-1)（q是常數(shù)且q＞0，q≠1，）．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)q=
1
3
時(shí)，試證明a1+a2+…+an＜
1
2
；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整數(shù)m，使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
≥
m
3
對(duì)任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，說(shuō)明理由．

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