17.設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,值域?yàn)锳,如果存在函數(shù)x=g(t),使得函數(shù)y=f[g(t)]的值域仍是A,那么稱x=g(t)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)等值域變換.設(shè)f(x)=log2x的定義域?yàn)閇2,8],已知x=g(t)=$\frac{{m{t^2}-nt+m}}{{{t^2}+1}}({m∈R,n∈{R_+}})$是y=f(x)的一個(gè)等值變換,且函數(shù)y=f[g(t)]的定義域?yàn)镽,則m=5,n=6.

分析 利用f(x)的定義域,求得值域,根據(jù)x的表達(dá)式,和t值域建立不等式,利用存在t1,t2∈R使兩個(gè)等號(hào)分別成立,求得m和n.

解答 接:f(x)=log2x定義域?yàn)閇2,8],由y=log2x,知1≤y≤3,
即f(x)=log2x的值域?yàn)閇1,3],
因?yàn)閤=g(t)是y=f(x)的一個(gè)等值域變換,且函數(shù)f(g(t))的定義域?yàn)镽,
x=g(t)=$\frac{m{t}^{2}-nt+m}{{t}^{2}+1}$t∈R的值域?yàn)閇2,8],2≤$\frac{m{t}^{2}-nt+m}{{t}^{2}+1}$≤8,
∴2(t2+1)≤mt2-nt+m≤8(t2+1),⇒所以,恒有$\left\{\begin{array}{l}{(m-2){t}^{2}-nt+m-2≥0}\\{(m-8){t}^{2}-nt+m-8≤0}\end{array}\right.$,
且存在t1,t2∈R使兩個(gè)等號(hào)分別成立
于是$\left\{\begin{array}{l}{2<m<8}\\{{△}_{1}={n}^{2}-4(m-2)^{2}}\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}{2<m<8}\\{{△}_{2}={n}^{2}-4(m-8)^{2}}\end{array}\right.$
 解得m=5,n=6                          
故答案為:5,6

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了新定義的理解和運(yùn)用,主要函數(shù)值域的問(wèn)題,利用已知條件演繹推理的能力和運(yùn)算能力.綜合性較強(qiáng),難度較大.

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(1)求證:BD⊥EG;
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5.已知二階矩陣M的屬于特征值-1的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{-3}\end{array}]$,屬于特征值3的一個(gè)特征向量為$[\begin{array}{l}{1}\\{1}\end{array}]$.
(1)求矩陣M;
(2)求直線l:y=2x-1在M作用下得到的新的直線l′方程;
(3)已知向量$\overrightarrow β=[\begin{array}{l}4\\ 0\end{array}]$,求${M^5}•\overrightarrow β$.

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12.矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&{k}\\{0}&{1}\end{array}]$(k≠0)的一個(gè)特征向量為$\overrightarrow{a}$=$[\begin{array}{l}k\\-1\end{array}]$,A的逆矩陣A-1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(3,1)變?yōu)辄c(diǎn)(1,1).則a+k=3.

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2.函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是(  )
A.ab=0B.a+b=0C.a2+b2=0D.a=b

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9.已知橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,焦距為4,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,-3).若點(diǎn)P在橢圓上,且在x軸上方,$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{{F}_{1}{F}_{2}}$=0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)①求△PF1F2的內(nèi)切圓M的方程;
②若直線l過(guò)△PF1F2的內(nèi)切圓圓心M,交橢圓于A,B兩點(diǎn),且A,B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,求直線l的方程.

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6.已知函數(shù)f(x)=lnx-($\frac{1}{2}$)x+1,則不等式f(2x-3)<$\frac{1}{2}$的解集為( 。
A.{x|{$\frac{3}{2}$<x<2}B.{x|${\frac{1}{2}$<x<2}C.{x|x<1}D.{x|-1<x<$\frac{3}{2}}\right.$}

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7.已知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且當(dāng)x∈(-∞,0),f(x)+xf′(x)<0成立,若a=(-2)×f(-2),b=f(1),c=3×f(3),則a,b,c的關(guān)系大小是( 。
A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

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