20.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+$\frac{π}{6}$)
(Ⅰ)若f(α)=$\frac{2}{3}$,求f(α-$\frac{π}{12}$)的值;
(Ⅱ)在△ABC中,若f(A)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∠B=$\frac{π}{4}$,AC=2,求△ABC的面積.

分析 (Ⅰ)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和差的三角公式,求得f(α-$\frac{π}{12}$)的值.
(Ⅱ)在△ABC中,根據(jù) f(A)=sin(2A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,求得A的值,可得△ABC的面積.

解答 解::(Ⅰ)∵f(α)=sin(2α+$\frac{π}{6}$)=$\frac{2}{3}$,∴cos(2α+$\frac{π}{6}$)=±$\sqrt{{1-sin}^{2}(2α+\frac{π}{6})}$=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$,
故f(α-$\frac{π}{12}$)=sin2α=sin[(2α+$\frac{π}{6}$)-$\frac{π}{6}$]
=sin(2α+$\frac{π}{6}$)cos$\frac{π}{6}$-cos(2α+$\frac{π}{6}$)sin$\frac{π}{6}$=$\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$±$\frac{\sqrt{5}}{3}•\frac{1}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}±\sqrt{5}}{6}$.
(Ⅱ)在△ABC中,∵f(A)=sin(2A+$\frac{π}{6}$)=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,∵0<A<π,∴$\frac{π}{6}$<2A+$\frac{π}{6}$<$\frac{13}{6}$π,
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{3}$或2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{2}{3}$π,即A=$\frac{π}{12}$或A=$\frac{π}{4}$.
當(dāng)A=$\frac{π}{12}$時(shí),C=$\frac{2}{3}$π,a=2$\sqrt{2}$sinA=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$•2$\sqrt{2}$=$\sqrt{3}$-1,S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$.
當(dāng)A=$\frac{π}{4}$時(shí),C=$\frac{π}{2}$,S△ABC=$\frac{1}{2}$ab=2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和差的三角公式,屬于中檔題.

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若不等式表示的平面區(qū)域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2018010106043217185696/SYS201801010604367032667856_ST/SYS201801010604367032667856_ST.002.png">,、均為內(nèi)一點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),,則下列判斷正確的是( )

A.的最小值為 B.的最小值為

C.的最大值為 D.的最大值為

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13.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{3}$x3+ax2+2bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且-1<x1<1<x2<2,則直線bx-(a-1)y+3=0的斜率的取值范圍$(-\frac{2}{5},\frac{2}{3})$.

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9.積分$\int_0^1{{e^x}dx}$的值為( 。
A.eB.e-1C.1D.e2

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16.已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且滿足Sn+Sn-1=tan2(其中t為常數(shù),t>0,n≥2),已和a1=0,且當(dāng)n≥2時(shí),an>0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若對(duì)于n≥2,n∈N*,不等式$\frac{1}{{{a_2}{a_3}}}+\frac{1}{{{a_3}{a_4}}}+\frac{1}{{{a_4}{a_5}}}+…+\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}<2$恒成立,求t的取值范圍.

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5.在直角坐標(biāo)系中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,且兩坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位.已知圓C的極坐標(biāo)方程是ρ=2$\sqrt{2}$cos(θ+$\frac{π}{4}$),且直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t}\\{y=-1+2\sqrt{2t}}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),直線l和圓C交于A,B兩點(diǎn),P是圓C上不同于A,B的任意一點(diǎn),
(1)求圓C的圓心的極坐標(biāo);
(2)求三角形PAB面積的最大值.

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12.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上,且 cosA=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$,BC=1,AC=3,且球O的表面積為16π,則三棱錐O-ABC的體積為(  )
A.$\frac{{\sqrt{15}}}{6}$B.$\frac{{\sqrt{14}}}{6}$C.$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$D.$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$

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8.在極坐標(biāo)系中,過(guò)點(diǎn)$({2,\frac{3π}{2}})$且平行于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是ρsinθ=-2.

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7.如圖,在四邊形ABCD中,|$\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{BD|}+|\overrightarrow{DC}$|=4,$(|\overrightarrow{AB}|+|\overrightarrow{DC}|)|\overrightarrow{BD}$|=4,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{DC}$=0,則$(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})•\overrightarrow{AC}$的值為( 。
A.2B.2$\sqrt{2}$C.4D.4$\sqrt{2}$

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