Question

我們將不與拋物線對稱軸平行或重合且與拋物線只有一個公共點的直線稱為拋物線的切線，這個公共點稱為切點．解決下列問題：
已知拋物線上的點到焦點的距離等于4，直線與拋物線相交于不同的兩點、，且（為定值）．設(shè)線段的中點為，與直線平行的拋物線的切點為．.

（1）求出拋物線方程，并寫出焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；
（2）用、表示出點、點的坐標(biāo)，并證明垂直于軸；
（3）求的面積，證明的面積與、無關(guān)，只與有關(guān).

Answer 1

（1），，，（2），，（3）.

試題分析：（1）由拋物線定義得：，即，因此拋物線方程為，焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為．（2）因為D點為直線與拋物線的交點A，B中點，所以求D點坐標(biāo)就根據(jù)直線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組，利用韋達定理求解，即由，得，，點.因為C點為切點，利用切線方程與拋物線方程聯(lián)立方程組后的判別式為零進行求解，即由,得，得.由于、的橫坐標(biāo)相同，垂直于軸．（3）求三角形面積，必須觀察結(jié)構(gòu)，合理選用底邊與高.本題將CD選為底,則為高，利用（1）求出，則.的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)．
試題解析：（1），得，拋物線方程為．    2分
焦點坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程為．    4分
（2）由，得，
點          6分
設(shè)切線方程為，由,得，，切點的橫坐標(biāo)為，得    8分
由于、的橫坐標(biāo)相同，垂直于軸．        10分
（3），．   12分
．        15分
的面積與、無關(guān)，只與有關(guān)．      16分
（本小題也可以求，切點到直線的距離，相應(yīng)給分）