Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=1處取極小值，x=3處取極大值，且函數(shù)圖象在(2，f(2))處的切線與直線x-5y=0平行.

（1）求實(shí)數(shù)abc的值;

（2）設(shè)函數(shù)f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求d的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，，由題意可得，所以，．聯(lián)立可求，，

（2）由（1）可得，由和分別是函數(shù)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，判斷可得方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件為，代入可求.

（1），函數(shù)圖象在的切線與直線x-5y=0平行，

①

由題意可知，1和3為方程的兩根，所以：

②

③

由①②③解得.

（2）由(1)得，

x=1和x=3分別是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

所以方程f(x)=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的充要條件為：，

即，解得

所以d的取值范圍為.