Question

設(shè)數(shù)列{a_n}：1，－2，－2，3，3，3，－4，－4，－4，－4，…，(－1)^k－1k，…，  (k∈N^*)時(shí)，a_n＝(－1)^k－1k，記S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n(n∈N^*)，用數(shù)學(xué)歸納法證明S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)(i∈N^*)．

Answer 1

證明：①當(dāng)i＝1時(shí)，S_i(2i＋1)＝S₃＝－1·(2＋1)＝－3，

故原式成立．

②假設(shè)當(dāng)i＝m時(shí)，等式成立，即S_m(2m＋1)＝－m·(2m＋1)．

則當(dāng)i＝m＋1時(shí)，

S_{(m＋1)[2(m＋1)＋1]}＝S_{(m＋1)(2m＋3)}＝S_m(2m＋1)＋(2m＋1)²－(2m＋2)²＝－m(2m＋1)＋(2m＋1)²－(2m＋2)² ＝－(2m²＋5m＋3)＝－(m＋1)(2m＋3)，故原式成立．

綜合①②得：S_i(2i＋1)＝－i(2i＋1)．