已知無(wú)窮數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù),Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.
(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且對(duì)任意正整數(shù)n都有Sn3=(Sn)3成立,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意正整數(shù)n,從集合{a1,a2,…,an}中不重復(fù)地任取若干個(gè)數(shù),這些數(shù)之間經(jīng)過(guò)加減運(yùn)算后所得數(shù)的絕對(duì)值為互不相同的正整數(shù),且這些正整數(shù)與a1,a2,…,an一起恰好是1至Sn全體正整數(shù)組成的集合.
(ⅰ)求a1a2的值;
(ⅱ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(1)an=1或an=2n-1(2)a1=1,a2=3,an=3n-1
(1)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的公差為d,因?yàn)?i>Sn3=(Sn)3對(duì)任意正整數(shù)n都成立,所以分別取n=1,n=2時(shí),則有:
因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正整數(shù),所以d≥0.
可得a1=1,d=0或d=2.(4分)
當(dāng)a1=1,d=0時(shí),an=1,Sn3=(Sn)3成立;
當(dāng)a1=1,d=2時(shí),Snn2,所以Sn3=(Sn)3.
因此,共有2個(gè)無(wú)窮等差數(shù)列滿足條件,通項(xiàng)公式為an=1或an=2n-1.(6分)
(2)(ⅰ)記An={1,2,…,Sn},顯然a1S1=1.(7分)
對(duì)于S2a1a2=1+a2,有A2={1,2,…,Sn}={1,a2,1+a2,|1-a2|}={1,2,3,4},
故1+a2=4,所以a2=3.(9分)
(ⅱ)由題意可知,集合{a1,a2,…,an}按上述規(guī)則,共產(chǎn)生Sn個(gè)正整數(shù).(10分)
而集合{a1,a2,…,an,an+1}按上述規(guī)則產(chǎn)生的Sn+1個(gè)正整數(shù)中,除1,2,…,SnSn個(gè)正整數(shù)外,還有an-1an+1i,|an+1i|(i=1,2,…,Sn),共2Sn+1個(gè)數(shù).
所以,Sn+1Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.(12分)
Sn+1=3 ,所以Sn·3n-1·3n.(14分)
當(dāng)n≥2時(shí),anSnSn-1·3n=3n-1.(15分)
a1=1也滿足an=3n-1.
所以,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=3n-1.(16分)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,設(shè)bn+15log3ant,常數(shù)t∈N*.
(1)求證:{bn}為等差數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列{cn}滿足cnanbn,是否存在正整數(shù)k,使ck,ck+1,ck+2按某種次序排列后成等比數(shù)列?若存在,求kt的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

中國(guó)人口已經(jīng)出現(xiàn)老齡化與少子化并存的結(jié)構(gòu)特征,測(cè)算顯示中國(guó)是世界上人口老齡化速度最快的國(guó)家之一,再不實(shí)施“放開(kāi)二胎”新政策,整個(gè)社會(huì)將會(huì)出現(xiàn)一系列的問(wèn)題.若某地區(qū)2012年人口總數(shù)為45萬(wàn),實(shí)施“放開(kāi)二胎”新政策后專家估計(jì)人口總數(shù)將發(fā)生如下變化:從2013年開(kāi)始到2022年每年人口比上年增加萬(wàn)人,從2023年開(kāi)始到2032年每年人口為上一年的99%.
(1)求實(shí)施新政策后第年的人口總數(shù)的表達(dá)式(注:2013年為第一年);
(2)若新政策實(shí)施后的2013年到2032年人口平均值超過(guò)49萬(wàn),則需調(diào)整政策,否則繼續(xù)實(shí)施.問(wèn)到2032年后是否需要調(diào)整政策?

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足(    )
A.5B.16 C.80D.160

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

在等差數(shù)列{an}中,已知a8≥15,a9≤13,則a12的取值范圍是________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a5=5,S5=15,則數(shù)列的前100項(xiàng)和為  (  ).
A.B.
C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1a2a5>13,且a1,a2,a5成等比數(shù)列,則a1的取值范圍為_(kāi)_______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an,若前n項(xiàng)和為10,則項(xiàng)數(shù)n為(  ).
A.11B.99C.120D.121

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:-(n2n-1)Sn-(n2n)=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.

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