判斷函數(shù)f(x)=
2xx-1
在區(qū)間(1，+∞)上的單調(diào)性，并用定義證明．
分析：任取1＜x1＜x2，我們構(gòu)造出f（x2）-f（x1）的表達式，根據(jù)實數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x2）-f（x1）的符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案．
解答：解：函數(shù)f(x)=
2x
x-1
在區(qū)間(1，+∞)是單調(diào)減函數(shù)．理由如下：
設(shè)1＜x1＜x2，f（x2）-f（x1）=
2x2
x2-1
-
2x1
x1-1
=
-2(x1+x2)
(x1-1)(x2-1)

因為1＜x1＜x2，所以x1+x2＞0，x1-1＞0，x2-1＞0，
所以f（x2）-f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）
所以f(x)=
2x
x-1
在區(qū)間(1，+∞)是單調(diào)減函數(shù)．
點評：本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數(shù)的單調(diào)性是我們中學(xué)階段證明函數(shù)單調(diào)性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2
1+x2

（1）由f(2)=
4
5
，f(
1
2
)=
1
5
，f(3)=
9
10
，f(
1
3
)=
1
10
這幾個函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)f（x）與f(
1
x
)有什么關(guān)系？并證明你的結(jié)論；
（2）求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2010)+f(
1
2
)+f(
1
3
)+…+f(
1
2010
)的值；
（3）判斷函數(shù)f(x)=
x2
1+x2
在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
lnx
x
-1
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性
(2)設(shè)m＞0，求f(x)在[m，2m]上的最大值
(3)證明：?n∈N*不等式ln(
1+n
n
)e＜
1+n
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）滿足下列兩個性質(zhì)：
①f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在f（x）的定義域內(nèi)存在某個區(qū)間使得f（x）在[a，b]上的值域是[
1
2
a，
1
2
b]．則我們稱f（x）為“內(nèi)含函數(shù)”．
（1）判斷函數(shù)f(x)=
x
是否為“內(nèi)含函數(shù)”？若是，求出a、b，若不是，說明理由；
（2）若函數(shù)f(x)=
x-1
+t是“內(nèi)含函數(shù)”，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
m
=(sinwx，coswx)，
n
=(cosφ，sinφ），函數(shù)f(x)=2(Acoswx)
m
•
n
-Asinφ （其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
)的圖象在y軸右側(cè)的第一個最高點（即函數(shù)取得最大值的點）為P（
1
3
，2），在原點右側(cè)與x軸的第一個交點為Q（
5
6
，0）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式；
（2判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間[
21
4
，
23
4
]上是否存在對稱軸，存在求出方程；否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且對任意正數(shù)x均有f′(x)＞
f(x)
x
，
（1）判斷函數(shù)F(x)=
f(x)
x
在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）設(shè)x1，x2∈（0，+∞），比較f（x1）+f（x2）與f（x1+x2）的大小，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比較f（x1）+f（x2）+…+f（xn）與f（x1+x2+…+xn）的大小，并證明你的結(jié)論．

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