Question

8．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，M是CC₁中點．
（1）求證：平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁；
（2）過點C作一截面與平面AB₁M平行，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）連結A₁B交AB于P，則P是A₁B的中點，取AB中點D，連結CD、PD、MP，推導出四邊形MCDP是平行四邊形，從而CD∥MP，求出CD⊥AB，CC₁⊥CD，CD⊥AA₁，從而MP⊥平面A₁ABB₁，由此能證明平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
（2）取AB中點D，BB₁中點N，連結CD、CN、DN，則截面CDN是過點C與平面AB₁M平行的截面．利用面面垂直的判定定理能證明平面CDN∥平面AB₁M．

解答 證明：（1）連結A₁B交AB于P，則P是A₁B的中點，取AB中點D，連結CD、PD、MP，
∵M、D分別是CC₁、AB的中點，
∴DP∥CM，且DP=CM，
∴四邊形MCDP是平行四邊形，
∴CD∥MP，∵AC=BC，∴CD⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥CD，
又AA₁∥CC₁，∴CD⊥AA₁，
∴CD⊥平面A₁ABB₁，∴MP⊥平面A₁ABB₁，
又∵MP?平面AB₁M，
∴平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）取AB中點D，BB₁中點N，
連結CD、CN、DN，則截面CDN是過點C與平面AB₁M平行的截面．
理由如下：
∵D、N分別是AB、BB₁的中點，∴DN∥AB₁，
又在矩形BCC₁B₁中，M是CC₁的中點，
∴B₁N∥CM，B₁N=CM，
∴四邊形CMB₁N是平行四邊形，∴B₁M∥CN，
∵CN、DN?平面AB₁M，B₁M、AB₁?平面AB₁M，
∴CN∥平面AB₁M，DN∥平面AB₁M，
∵CN∩DN=N，CN、DN?平面CDN，
∴平面CDN∥平面AB₁M．

點評 本題考查面面垂直、面面平行的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，數形結合思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．